VektorkalkylAvsnitt 3 av 4

Gauss sats (Divergenssatsen)

Intuition: Gauss sats säger att totala flödet ut genom ytan = summan av alla källor inuti. Om du har en låda och mäter hur mycket vatten som strömmar ut genom alla sidor, är det exakt lika mycket som alla kranar inuti producerar. Det är Greens sats men i 3D.

Satsen

Låt $K$ vara en kompakt reguljär kropp med utåtriktad rand $\partial K$ . Då:

\boxed{\iint_{\partial K} \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS = \iiint_K \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV}

Vänsterled	Högerled
Flödesintegral genom ytan	Trippelintegral i volymen
Mäter nettoutflöde	Summerar divergensen (källstyrkan)

Typisk användning

Problemet: Beräkna flödet $\iint_{\partial K} \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS$ — ytan har kanske flera delar (lock, botten, manteln...) och varje del kräver egen parametrisering.

Gauss sats: Byt till $\iiint_K \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$ — en enda trippelintegral!

Exempel 1: Flöde genom ellipsoid

$\mathbf{F} = (2x, 3y, 4z)$ , $K$ : ellipsoiden $9x^2+4y^2+z^2 \leq 36$ .

$\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 + 3 + 4 = 9$

\iint_{\partial K} \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS = \iiint_K 9 \, dV = 9 \cdot V

Ellipsoidens halvaxlar: $a = 2$ , $b = 3$ , $c = 6$ . Volym $= \frac{4\pi}{3} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 = 48\pi$

Svar: $9 \cdot 48\pi = 432\pi$

Exempel 2: Flöde genom cylinder

$\mathbf{F} = (x,y,z)$ , $K$ : cylindern $x^2+y^2 \leq 1$ , $0 \leq z \leq 1$ .

$\nabla \cdot \mathbf{F} = 3$

\iint_{\partial K} \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS = 3 \cdot V = 3\pi

Utan Gauss sats hade du behövt parametrisera manteln, locket OCH botten separat!

Sluta till ytan (vanligt trick)

Problem: Du vill beräkna flödet genom en öppen yta (t.ex. bara manteln, utan lock).

Strategi:

Slut till ytan med extra bitar (lock, botten) → sluten yta $\partial K$
Använd Gauss sats på hela $\partial K$
Subtrahera flödet genom de extra bitarna

Exempel: Flöde genom halva sfären

$\mathbf{F} = (x,y,z)$ , halvsfären $x^2+y^2+z^2 = R^2$ , $z \geq 0$ (utan botten).

Slut till med disken $D$ : $x^2+y^2 \leq R^2$ , $z=0$ , normal $\mathbf{N} = (0,0,-1)$ (nedåt = utåt).

Gauss: $\iiint 3 \, dV = 3 \cdot \frac{2\pi R^3}{3} = 2\pi R^3$ (halvklotet)

Disk: $\mathbf{F}\cdot\mathbf{N} = (x,y,0)\cdot(0,0,-1) = 0$ på $z=0$

Svar: $2\pi R^3 - 0 = 2\pi R^3$

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 2.5: Ellipsoid — konstant divergens, enkel volymberäkning.

Uppgift 2.6: Cylinder — jämför med direkt beräkning.

Uppgift 2.7–2.9: Sluta till ytan — planet, cylindermanteln, halvsfären.

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Divergence Theorem

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 2.5
Uppgift 2.5. Beräkna flödet av vektorfältet $\mathbf{F}(x, y, z) = (2x, 3y, 4z)$ ut från ellipsoiden $9x^2 + 4y^2 + z^2 \leq 36$ .

$432\pi$ (divergensen är 9 och volymen av en ellipsoid är produkten av halvaxlarna och $4\pi / 3$ ).
Uppgift 2.6
Uppgift 2.6. Beräkna flödet av vektorfältet $\mathbf{F}(x, y, z) = (x, y, z)$ ut från cylindern som ges av olikheterna $x^2 + y^2 \leq 1$ och $0 \leq z \leq 1$ .

$3\pi$
Uppgift 2.7
Uppgift 2.7. Beräkna flödet av vektorfältet $\mathbf{F}(x, y, z) = (0, 0, z)$ upp genom den del av planet $x + y + z = 1$ som ligger i första oktanten, genom att sluta till ytan och använda divergenssatsen.

1/6
Uppgift 2.8
Uppgift 2.8. Beräkna flödet av vektorfältet $\mathbf{F}(x, y, z) = (x, y, z)$ ut (bort från $z$ -axeln) genom cylinderytan $x^2 + y^2 = 4$ , då $0 \leq z \leq 1$ , genom att sluta till ytan och använda divergenssatsen.

$8\pi$
Uppgift 2.9
Uppgift 2.9. Beräkna flödet av vektorfältet $\mathbf{F}(x, y, z) = (x, y, z)$ ut (bort från origo) genom halvsfären $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ , $z \geq 0$ , genom att sluta till ytan och använda divergenssatsen.

$2\pi R^3$