Stokes sats

Intuition: Stokes sats är den ultimata generaliseringen: cirkulationen av ett fält runt randkurvan = flödet av rotationen genom ytan. Det är Greens sats lyft till 3D — istället för en platt region med randkurva har du en böjd yta med randkurva.

Satsen

Låt $S$ vara en orienterad yta med positivt orienterad randkurva $\partial S$. Då:

$$\boxed{\int_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{N} \, dS}$$

Vänsterled	Högerled
Kurvintegral runt randkurvan	Ytintegral av rotationen genom ytan
Mäter cirkulationen	Summerar virvlarna

Positiv orientering

Vandrar du längs $\partial S$ med huvudet i $\mathbf{N}$:s riktning, ska ytan $S$ vara till vänster.

Tumregel: Högerhandsregeln — om tummen pekar i $\mathbf{N}$:s riktning, böjer fingrarna i randkurvans riktning.

Typisk användning

Problem: Beräkna $\int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ där $\gamma$ är en komplicerad kurva i 3D (t.ex. skärningen av en cylinder och ett plan).

Stokes sats: Välj valfri yta $S$ med $\gamma$ som rand. Beräkna $\nabla \times \mathbf{F}$ och integrera den genom $S$.

Frihet i ytval: Det spelar ingen roll vilken yta du väljer — svaret beror bara på randkurvan! Välj den enklaste.

Exempel: Cylinder möter plan

$\int_\gamma x\,dx + (y+z)\,dy + (y+z)\,dz$ där $\gamma$: $x^2+y^2 = 4$, $x+y+z = 0$.

$\mathbf{F} = (x, y+z, y+z)$

$\nabla \times \mathbf{F} = (1-1, 0-0, 0-0) = (0,0,0)$

$$\iint_S \mathbf{0} \cdot \mathbf{N} \, dS = 0$$

Exempel: Ellips i planet $z = 2$

$\int_\gamma y\,dx + x\,dy + z\,dz$ där $\gamma$: $x^2+2y^2=1$, $z=2$.

$\mathbf{F} = (y,x,z)$

$\nabla \times \mathbf{F} = (0-0, 0-0, 1-1) = (0,0,0)$

Svar: 0. Alternativt: $\mathbf{F}$ har potential $\phi = xy + z^2/2$, och kurvan är sluten, så $\phi(\text{start}) - \phi(\text{slut}) = 0$.

Koppling till konservativa fält

Om $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$ överallt:

• Stokes sats ger $\int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$ för varje sluten kurva
• Alltså: $\mathbf{F}$ är konservativt (har en potential)

Översikt: De stora satserna

Sats	Dimensioner	Kopplar ihop
Huvudsatsen (envariabel)	1D	$\int_a^b f'dx = f(b)-f(a)$
Greens sats	2D	Kurvintegral ↔ dubbelintegral
Gauss sats	3D	Flödesintegral ↔ trippelintegral
Stokes sats	3D	Kurvintegral ↔ ytintegral

Alla säger egentligen samma sak: integralen av en "derivata" på insidan = integralen av funktionen på randen.

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 3.13: Cylinder ∩ plan — rotationen blir noll.

Uppgift 3.14: Ellips med $z = 2$ — nollrotation, alternativt potential.

Tentamen 23.06.02, P5: Parametrisera skärningskurva och använd Stokes.