Divergens & rotation
Intuition: Divergensen mäter om ett vektorfält expanderar eller komprimerar i en punkt (som en källa/sänka). Rotationen mäter om fältet snurrar kring en punkt (som en virvel). Tillsammans beskriver de ett vektorfälts lokala beteende.
Divergens
∇ ⋅ F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z \boxed{\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}} ∇ ⋅ F = ∂ x ∂ F 1 + ∂ y ∂ F 2 + ∂ z ∂ F 3 Resultat: En skalär (ett tal).
Tolkning:
∇ ⋅ F > 0 \nabla \cdot \mathbf{F} > 0 ∇ ⋅ F > 0 expanderar (källa)∇ ⋅ F < 0 \nabla \cdot \mathbf{F} < 0 ∇ ⋅ F < 0 komprimerar (sänka)∇ ⋅ F = 0 \nabla \cdot \mathbf{F} = 0 ∇ ⋅ F = 0
Exempel
F = ( x , y , z ) \mathbf{F} = (x, y, z) F = ( x , y , z ) ∇ ⋅ F = 1 + 1 + 1 = 3 \nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3 ∇ ⋅ F = 1 + 1 + 1 = 3
F = ( − y , x , 0 ) \mathbf{F} = (-y, x, 0) F = ( − y , x , 0 ) ∇ ⋅ F = 0 \nabla \cdot \mathbf{F} = 0 ∇ ⋅ F = 0
Rotation
∇ × F = ( ∂ F 3 ∂ y − ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z − ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x − ∂ F 1 ∂ y ) \boxed{\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \; \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \; \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)} ∇ × F = ( ∂ y ∂ F 3 − ∂ z ∂ F 2 , ∂ z ∂ F 1 − ∂ x ∂ F 3 , ∂ x ∂ F 2 − ∂ y ∂ F 1 ) Resultat: Ett vektorfält (3 komponenter).
Minnesregel: Beräkna som "kryssprodukten" ∇ × F \nabla \times \mathbf{F} ∇ × F
∇ × F = ∣ e 1 e 2 e 3 ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3 ∣ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} ∇ × F = e 1 ∂ x F 1 e 2 ∂ y F 2 e 3 ∂ z F 3 Tolkning:
Riktningen: rotationsaxeln
Absolutvärdet: hur snabbt fältet roterar
Exempel
F = ( x 2 y , y z , x + z 3 ) \mathbf{F} = (x^2y, yz, x+z^3) F = ( x 2 y , y z , x + z 3 )
∇ ⋅ F = 2 x y + z + 3 z 2 \nabla \cdot \mathbf{F} = 2xy + z + 3z^2 ∇ ⋅ F = 2 x y + z + 3 z 2
∇ × F = ( 0 − y , 0 − 1 , 0 − x 2 ) = ( − y , − 1 , − x 2 ) \nabla \times \mathbf{F} = (0 - y, \; 0 - 1, \; 0 - x^2) = (-y, -1, -x^2) ∇ × F = ( 0 − y , 0 − 1 , 0 − x 2 ) = ( − y , − 1 , − x 2 )
Viktiga identiteter
Gradient → Virvelfritt
∇ × ( ∇ f ) = 0 \nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0} ∇ × ( ∇ f ) = 0 "Rotationen av en gradient är alltid noll." Gradientfält (konservativa fält) har ingen virvel .
Konsekvens: Om ∇ × F ≠ 0 \nabla \times \mathbf{F} \neq \mathbf{0} ∇ × F = 0 F \mathbf{F} F inte vara ett gradientfält.
Rotation → Divergensfritt
∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 ∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 "Divergensen av en rotation är alltid noll." Rotationsfält har inget nettoutflöde .
I planet (2D)
För F = ( F 1 , F 2 ) \mathbf{F} = (F_1, F_2) F = ( F 1 , F 2 )
∇ ⋅ F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y , "rot" = ∂ F 2 ∂ x − ∂ F 1 ∂ y \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}, \qquad \text{"rot"} = \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} ∇ ⋅ F = ∂ x ∂ F 1 + ∂ y ∂ F 2 , "rot" = ∂ x ∂ F 2 − ∂ y ∂ F 1 Den sista är precis det som dyker upp i Greens sats!
Nyckelövningar från seminariet
Uppgift 3.10: Beräkna ∇ ⋅ F \nabla \cdot \mathbf{F} ∇ ⋅ F ∇ × F \nabla \times \mathbf{F} ∇ × F F = ( x 2 y , y z , x + z 3 ) \mathbf{F} = (x^2y, yz, x+z^3) F = ( x 2 y , y z , x + z 3 )
Uppgift 3.11: Visa att ∇ × ( ∇ f ) = 0 \nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0} ∇ × ( ∇ f ) = 0
Uppgift 3.12: Är ∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 ∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 ∇ × ( ∇ ⋅ F ) \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf{F}) ∇ × ( ∇ ⋅ F )