Flödesintegraler

Intuition: Tänk dig vatten som strömmar genom ett nät. Flödesintegralen mäter hur mycket av vektorfältet som passerar genom ytan per tidsenhet. Bara den komponent av fältet som är vinkelrät mot ytan bidrar — det som är parallellt med ytan "glider förbi".

Definitionen

$$\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS$$

• $\mathbf{F}$ = vektorfältet (t.ex. hastigheten hos ett strömmande medium)
• $\mathbf{N}$ = utåtriktade enhetsnormalen till ytan
• $\mathbf{F} \cdot \mathbf{N}$ = den komponent av $\mathbf{F}$ som passerar genom ytan

Beräkning via parametrisering

Om $\mathbf{g}(u,v)$ parametriserar ytan $S$ med normalvektor $\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial v}$:

$$\boxed{\iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS = \iint_R \mathbf{F}(\mathbf{g}(u,v)) \cdot \mathbf{n} \, du \, dv}$$

Obs: Här är $\mathbf{n}$ den icke-normerade normalvektorn (kryssprodukten). Längden $|\mathbf{n}|$ i ytintegralen $dS$ tar hand om sig själv via $\mathbf{N} = \mathbf{n}/|\mathbf{n}|$:

$$\mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, dS = \mathbf{F} \cdot \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} \cdot |\mathbf{n}| \, du\,dv = \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, du\,dv$$

Orientering

Utåtriktad = normalen pekar bort från det inneslutna området.

Kontrollera: Om $\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial v}$ pekar åt fel håll, byt ordningen: $\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial v} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial u} = -\mathbf{n}$.

Exempel 1: Flöde genom plan

$\mathbf{F} = (0,0,z)$, ytan $S$: planet $x+y+z=1$ i första oktanten, uppåtriktad.

$z = 1-x-y$, $\mathbf{g}(x,y) = (x,y,1-x-y)$

$\mathbf{n} = (1,0,-1)\times(0,1,-1) = (1,1,1)$ — pekar uppåt ✓

$$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = (0,0,1-x-y) \cdot (1,1,1) = 1-x-y$$

$$\iint_R (1-x-y) \, dx\,dy = \int_0^1\int_0^{1-x} (1-x-y) \, dy\,dx = \frac{1}{6}$$

Exempel 2: Flöde genom cylinder

$\mathbf{F} = (x,y,0)$, ytan: $x^2+y^2 = 4$, $0 \leq z \leq 1$, utåt.

$\mathbf{g}(\theta,z) = (2\cos\theta, 2\sin\theta, z)$

$\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial z} = (-2\sin\theta, 2\cos\theta, 0) \times (0,0,1) = (2\cos\theta, 2\sin\theta, 0)$

Pekar utåt ✓

$$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = (2\cos\theta, 2\sin\theta, 0) \cdot (2\cos\theta, 2\sin\theta, 0) = 4$$

$$\int_0^{2\pi}\int_0^1 4 \, dz \, d\theta = 8\pi$$

Exempel 3: Flöde genom sfär

$\mathbf{F} = (x,y,z)$, sfären $x^2+y^2+z^2 = R^2$, utåt.

Sfärisk parametrisering ger $\mathbf{n}$ utåtriktad med $|\mathbf{n}| = R^2\sin\varphi$.

$\mathbf{F} \cdot \mathbf{N} = \frac{\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} = R \quad \text{(på sfären har fältet radien $R i normalriktning)}$$

$$\iint_S R \, dS = R \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^3$$

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.1: Flöde genom plan — grundfall.

Uppgift 1.2: Flöde genom cylinder — standardparametrisering.

Uppgift 1.3: Flöde genom sfär — testa med $\mathbf{F} = (x,y,z)$.

Uppgift 1.4: Saddelyta $z = x^2-y^2$ — kolla normalens riktning!