Ytintegraler
Intuition: En linjeintegral summerar en funktion längs en kurva. En ytintegral summerar en funktion över en yta . Om funktionen är 1 får du arean. Om funktionen är densitet per areaenhet (ρ \rho ρ
Formeln
Givet en parametrisering g ( u , v ) \mathbf{g}(u,v) g ( u , v ) S S S
∬ S f d S = ∬ R f ( g ( u , v ) ) ∣ ∂ g ∂ u × ∂ g ∂ v ∣ d u d v \iint_S f \, dS = \iint_R f(\mathbf{g}(u,v)) \left|\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial v}\right| du \, dv ∬ S f d S = ∬ R f ( g ( u , v )) ∂ u ∂ g × ∂ v ∂ g d u d v Steg:
Parametrisera ytan: g ( u , v ) \mathbf{g}(u,v) g ( u , v )
Beräkna ∂ g ∂ u × ∂ g ∂ v \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial v} ∂ u ∂ g × ∂ v ∂ g
Substituera in f f f ( u , v ) (u,v) ( u , v )
Integrera över rektangeln R R R
Specialfall
f = 1 f = 1 f = 1 f = ρ f = \rho f = ρ ρ \rho ρ
Exempel: ∬ S z d S \iint_S z \, dS ∬ S z d S x + y + z = 1 x+y+z=1 x + y + z = 1
z = 1 − x − y z = 1-x-y z = 1 − x − y g ( x , y ) = ( x , y , 1 − x − y ) \mathbf{g}(x,y) = (x, y, 1-x-y) g ( x , y ) = ( x , y , 1 − x − y )
∂ g ∂ x × ∂ g ∂ y = ( 1 , 0 , − 1 ) × ( 0 , 1 , − 1 ) = ( 1 , 1 , 1 ) \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial y} = (1,0,-1) \times (0,1,-1) = (1,1,1) ∂ x ∂ g × ∂ y ∂ g = ( 1 , 0 , − 1 ) × ( 0 , 1 , − 1 ) = ( 1 , 1 , 1 ) = 3 = \sqrt{3} = 3
Region: x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 1 x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1 x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 1
∬ S z d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x ( 1 − x − y ) 3 d y d x = 3 6 \iint_S z \, dS = \int_0^1\int_0^{1-x} (1-x-y)\sqrt{3} \, dy \, dx = \frac{\sqrt{3}}{6} ∬ S z d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x ( 1 − x − y ) 3 d y d x = 6 3 Exempel: ∬ S z d S \iint_S z \, dS ∬ S z d S x 2 + y 2 + z 2 = 4 x^2+y^2+z^2 = 4 x 2 + y 2 + z 2 = 4
Sfärisk parametrisering: g ( θ , φ ) = ( 2 cos θ sin φ , 2 sin θ sin φ , 2 cos φ ) \mathbf{g}(\theta,\varphi) = (2\cos\theta\sin\varphi, 2\sin\theta\sin\varphi, 2\cos\varphi) g ( θ , φ ) = ( 2 cos θ sin φ , 2 sin θ sin φ , 2 cos φ )
z = 2 cos φ z = 2\cos\varphi z = 2 cos φ ∣ n ∣ = 4 sin φ |n| = 4\sin\varphi ∣ n ∣ = 4 sin φ
∬ S z d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 2 cos φ ⋅ 4 sin φ d φ d θ = 8 π \iint_S z \, dS = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} 2\cos\varphi \cdot 4\sin\varphi \, d\varphi \, d\theta = 8\pi ∬ S z d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π /2 2 cos φ ⋅ 4 sin φ d φ d θ = 8 π Kom ihåg
Integral
Summerar över
Element
Parametrar
∫ C f d s \int_C f \, ds ∫ C f d s kurva
$ds =
\mathbf{r}'(t)
∬ S f d S \iint_S f \, dS ∬ S f d S yta
$dS =
\mathbf{g}_u \times \mathbf{g}_v
∭ K f d V \iiint_K f \, dV ∭ K f d V kropp
d V = d x d y d z dV = dx\,dy\,dz d V = d x d y d z 3 (x,y,z)
Nyckelövningar från seminariet
Uppgift 3.10: Ytintegral av z z z
Uppgift 3.11: Ytintegral av z z z
Uppgift 3.12: Area av ytan z 2 = 2 x y z^2 = 2xy z 2 = 2 x y