Ytparametrisering & ytarea

Intuition: Precis som en kurva i 3D beskrivs av en funktion $\mathbf{r}(t)$ (1 parameter), beskrivs en yta i 3D av en funktion $\mathbf{g}(u,v)$ (2 parametrar). Parametriseringen "plattar ut" ytan till en rektangel — och vi kan beräkna allt på rektangeln istället.

Parametriserad yta

En funktion $\mathbf{g}: R \to \mathbb{R}^3$ där $R$ är en rektangel i $(u,v)$-planet:

$$\mathbf{g}(u,v) = (x(u,v), \; y(u,v), \; z(u,v))$$

Bilden av $\mathbf{g}$ är ytan $S$ i rummet.

Vanliga parametriseringar

Funktionsyta $z = f(x,y)$

$$\mathbf{g}(x,y) = (x, y, f(x,y))$$

Sfär med radie $R$ (sfäriska koordinater)

$$\mathbf{g}(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\sin\varphi, \; R\sin\theta\sin\varphi, \; R\cos\varphi)$$

$0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq \varphi \leq \pi$ (hela sfären) eller $0 \leq \varphi \leq \pi/2$ (övre halvan).

Cylinder $x^2+y^2 = R^2$

$$\mathbf{g}(\theta, z) = (R\cos\theta, \; R\sin\theta, \; z)$$

Kon $z = \sqrt{x^2+y^2}$

$$\mathbf{g}(r, \theta) = (r\cos\theta, \; r\sin\theta, \; r)$$

Normalvektor & areaelement

De partiella derivatorna $\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial u}$ och $\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial v}$ spänner upp tangentplanet. Deras kryssprodukt ger normalvektorn:

$$\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial v}$$

Areaelementet:

$$dS = \left|\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial v}\right| du \, dv$$

Intuition: $|\mathbf{n}|$ mäter hur mycket ytan "sträcks" jämfört med den platta rektangeln. Det är exakt analogt med $|\mathbf{r}'(t)|$ för kurvor.

Arean av en yta

$$\text{Area}(S) = \iint_S dS = \iint_R \left|\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial v}\right| du \, dv$$

Exempel: Övre halvsfären med radie 2

$\mathbf{g}(\theta,\varphi) = (2\cos\theta\sin\varphi, 2\sin\theta\sin\varphi, 2\cos\varphi)$

Kryssprodukten ger $|\mathbf{n}| = 4\sin\varphi$

$$\text{Area} = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} 4\sin\varphi \, d\varphi \, d\theta = 2\pi \cdot 4 \cdot 1 = 8\pi$$

Specialfall: Funktionsyta $z = f(x,y)$

$$dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy$$

Minnesregel: "1 + (lutning i $x$)² + (lutning i $y$)²" under rottecknet.

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 3.10a: Planet $x+y+z=1$ i första oktanten — funktionsyta.

Uppgift 3.10b: Konisk yta $z = \sqrt{x^2+y^2}$ — parametrisera och beräkna $dS$.

Uppgift 3.11: Sfären $x^2+y^2+z^2 = 4$ — sfärisk parametrisering.