Masscentrum & tillämpningar

Intuition: Integraler låter oss räkna ut egenskaper hos kroppar som inte är jämna — om densiteten varierar kan vi ändå beräkna total massa, tyngdpunkt, och tröghet genom att "summera" bidragen från varje liten volymbit.

Massa

Om kroppen $K$ har densitetsfunktion $\rho(x,y,z)$:

$$m = \iiint_K \rho \, dV$$

Specialfall: Om $\rho = 1$ (likformig densitet) ger integralen volymen.

Masscentrum (tyngdpunkt)

Masscentret $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ beräknas som:

$$\bar{x} = \frac{\iiint_K x \, \rho \, dV}{\iiint_K \rho \, dV}, \quad \bar{y} = \frac{\iiint_K y \, \rho \, dV}{\iiint_K \rho \, dV}, \quad \bar{z} = \frac{\iiint_K z \, \rho \, dV}{\iiint_K \rho \, dV}$$

Intuition: Täljaren ger "momentet" (vikt × avstånd), nämnaren ger massan. Kvoten = genomsnittlig position.

Använd symmetri!

Om kroppen och densiteten båda är symmetriska kring ett plan, ligger masscentret i det planet.

Exempel: Halvklotet $x^2+y^2+z^2 \leq 1$, $z \geq 0$ med $\rho = 1$:

• $\bar{x} = 0$ (symmetri i $x$)
• $\bar{y} = 0$ (symmetri i $y$)
• $\bar{z} = ?$ (behöver beräknas)

Klassisk tentauppgift: Halvklot med $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Sfäriska koordinater: $\rho = R$

$$m = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^1 R \cdot R^2\sin\varphi \, dR \, d\varphi \, d\theta$$

$$\bar{z} = \frac{\iiint z \cdot R \, dV}{m} = \frac{\iiint R\cos\varphi \cdot R \cdot R^2\sin\varphi \, dR\,d\varphi\,d\theta}{m}$$

Tröghetsmomnet

Tröghetsmoment vid rotation kring en axel mäter hur svårt det är att rotera kroppen.

Kring $z$-axeln:

$$I_z = \iiint_K (x^2 + y^2) \rho \, dV$$

Intuition: Punkter långt från axeln ($x^2+y^2$ stort) bidrar mer — precis som hävstångseffekten.

Volymberäkning

$$V = \iiint_K dV$$

Ofta enklast med rätt koordinatsystem:

• Cylinder → cylindriska koordinater
• Klot → sfäriska koordinater
• Kon → antingen cylindriska eller sfäriska

Exempel: Toppen av ett klot

"Skär av toppen $S$ av klotet $x^2+y^2+z^2 \leq 2$ med planet $z = 1$":

Sfäriska: $R$ från $1/\cos\varphi$ till $\sqrt{2}$, $\varphi$ från $0$ till $\arccos(1/\sqrt{2}) = \pi/4$.

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 2.5: $\iiint_K (x+2) \, dV$ på halvklot — utnyttja symmetri ($\iiint x = 0$).

Uppgift 2.6: Tröghetsmomentet — $(1+z^2)(x^2+y^2)$ i cylindriska.

Uppgift 2.9: Förklara varför formlerna för massa och masscentrum ser ut som de gör.