Cylindriska & sfäriska koordinater

Intuition: Precis som polära koordinater förenklar dubbelintegraler över cirkulära regioner, förenklar cylindriska och sfäriska koordinater trippelintegraler över cylindrar och klot. Nyckeln: matcha koordinatsystemet mot kroppens form.

Substitutionsformeln i 3D

$$\iiint_K f(x,y,z) \, dx\,dy\,dz = \iiint_N f(\rho(t,u,v)) \, |\det J(\rho)| \, dt\,du\,dv$$

Cylindriska koordinater $(r, \theta, z)$

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$

$$\boxed{dV = r \, dr \, d\theta \, dz}$$

Använd när: kroppen har cylinderform eller cirkulärt tvärsnitt (t.ex. $x^2+y^2 \leq R^2$).

Exempel: Volym av cylinder $x^2+y^2 \leq 1$, $0 \leq z \leq 1$

$$V = \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^1 r \, dz \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \pi$$

Exempel: $\iiint_K (1+z^2)(x^2+y^2) \, dV$ på $x^2+y^2 \leq 1$, $|z| \leq 1$

$x^2+y^2 = r^2$, och regionen: $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $-1 \leq z \leq 1$

$$= \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-1}^1 (1+z^2)r^2 \cdot r \, dz \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

(Detta ger tröghetsmomentet vid rotation kring $z$-axeln!)

Sfäriska koordinater $(R, \theta, \varphi)$

$x = R\cos\theta\sin\varphi$, $y = R\sin\theta\sin\varphi$, $z = R\cos\varphi$

• $R$ = avstånd från origo
• $\theta$ = vinkel i $xy$-planet ($0 \leq \theta \leq 2\pi$)
• $\varphi$ = vinkel från positiva $z$-axeln ($0 \leq \varphi \leq \pi$)

$$\boxed{dV = R^2 \sin\varphi \, dR \, d\theta \, d\varphi}$$

Använd när: kroppen är klotformad (t.ex. $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$).

Minnesregel: $R^2 \sin\varphi$

Tänk "$R$-squared-sine-phi" — det dyker upp varje gång du byter till sfäriska.

Exempel: Halvklot $x^2+y^2+z^2 \leq 1$, $z \geq 0$

$0 \leq R \leq 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq \varphi \leq \pi/2$

$$\iiint_K (x+2) \, dV$$

$\iiint x \, dV = 0$ (symmetri: udda i $x$, regionen symmetrisk), så:

$$= 2 \cdot \text{Vol}(K) = 2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Jämförelsetabell

Koordinatsystem	Volymselement	Bäst för
Kartesiskt $(x,y,z)$	$dx\,dy\,dz$	Rätblock, simpla regioner
Cylindriskt $(r,\theta,z)$	$r\,dr\,d\theta\,dz$	Cylindrar, rör, koner
Sfäriskt $(R,\theta,\varphi)$	$R^2\sin\varphi\,dR\,d\theta\,d\varphi$	Klot, halvklot, sfäriska skal

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 2.6: $(1+z^2)(x^2+y^2)$ på cylinder — cylindriska.

Uppgift 2.7: $\sqrt{x^2+y^2}$ under kon $z = \sqrt{x^2+y^2}$ — cylindriska.

Uppgift 2.8: $\frac{1}{1+x^2+y^2+z^2}$ på halvklot — sfäriska.