Trippelintegraler

Intuition: En dubbelintegral summerar en funktion över en platt region. En trippelintegral summerar en funktion över en tredimensionell kropp — tänk att du summerar massa, energi eller densitet i varje liten kub inuti ett 3D-objekt.

Definitionen

$$\iiint_K f(x,y,z) \, dV$$

• $K$ = kroppen (3D-regionen) vi integrerar över
• $f(x,y,z)$ = funktionen vi summerar
• $dV = dx \, dy \, dz$ = volymelementet (en liten kub)

Tolkningar:

• $f = 1$: volymen av $K$
• $f = \rho$ (densitet): massan av $K$

Reguljär kropp

Precis som dubbelintegraler kräver "reguljära regioner" kräver trippelintegraler reguljära kroppar:

$$K: \quad a \leq x \leq b, \quad c(x) \leq y \leq d(x), \quad u(x,y) \leq z \leq v(x,y)$$

Gränserna bygger på varandra: $y$-gränserna beror på $x$, och $z$-gränserna beror på $(x,y)$.

Itererad integration

$$\iiint_K f \, dV = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} \int_{u(x,y)}^{v(x,y)} f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx$$

Samma princip som dubbelintegraler: integrera inifrån och ut, en variabel i taget. Den innersta integralen har gränser som kan bero på de yttre variablerna.

Exempel: Tetraedern med hörn $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$

Beskriv: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1-x$, $0 \leq z \leq 1-x-y$

$$\iiint_T x \, dV = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} x \, dz \, dy \, dx = \frac{1}{24}$$

Exempel: Skålen $x^2 + y^2 \leq z \leq 1$

Volymen: $z$ går från paraboloiden $x^2+y^2$ upp till $z=1$.

Projicera ner till $xy$-planet: $x^2+y^2 \leq 1$ (enhetssdisken).

$$V = \int\int_{x^2+y^2 \leq 1} \int_{x^2+y^2}^1 dz \, dA = \int\int_{x^2+y^2 \leq 1} (1 - x^2 - y^2) \, dA$$

Nu polära: $= \int_0^{2\pi}\int_0^1 (1-r^2) \cdot r \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2}$

Strategi: Bestäm integrationsordningen

1. Rita kroppen (eller åtminstone förstå dess form)
2. Välj vilken variabel som ska vara innerst (ofta $z$)
3. Projicera kroppen ner på planet för de yttre variablerna
4. Skriv gränserna inifrån och ut

Använd symmetri!

Om $K$ är symmetrisk kring t.ex. $xz$-planet och $f$ är udda i $y$, då:

$$\iiint_K f \, dV = 0$$

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.1: $\iiint_K (x^2+y^2+z^2) \, dV$ på enhetskuben — direkt itererad integration.

Uppgift 1.2: Tetraedern — beskriv med olikheter, integrera $x$.

Uppgift 1.4: Skålens volym — projicera och använd polära.