DubbelintegralerAvsnitt 5 av 5

Greens sats

Intuition: Greens sats kopplar ihop en kurvintegral runt en sluten kurva med en dubbelintegral inuti kurvan. Det är som att summera "virvlingen" (rotationen) av ett fält inuti ett område — det ger samma svar som att mäta fältets bidrag längs randen.

Satsen

Låt $D$ vara en kompakt reguljär region i planet med positivt orienterad rand $\partial D$ (moturs). Låt $\mathbf{F} = (F_1, F_2)$ vara ett vektorfält. Då:

\boxed{\oint_{\partial D} F_1 \, dx + F_2 \, dy = \iint_D \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dA}

Vänsterled

Kurvintegralen runt randen av $D$ (en sluten kurva).

Högerled

Dubbelintegralen av "rotationen" $(F_{2,x} - F_{1,y})$ över insidan av $D$ .

Positiv orientering

Positivt orienterad = moturs = området $D$ är till vänster när du går längs randen.

Om kurvan är medurs orienterad, byt tecken.

Tre användningsområden

1. Beräkna svåra kurvintegraler via dubbelintegraler

Om kurvintegralen är krånglig (komplicerad parametrisering) men dubbelintegralen är enkel.

2. Beräkna svåra dubbelintegraler via kurvintegraler

Ibland åt andra hållet! Om dubbelintegralen är svår men kurvintegralen är enkel.

3. Beräkna area med kurvintegral

Arean av $D$ kan beräknas som:

\text{Area}(D) = \oint_{\partial D} x \, dy = -\oint_{\partial D} y \, dx = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} (x \, dy - y \, dx)

Exempel: Kurvintegral via Green

$\oint_\gamma (y^2 + x) \, dx + x^2 \, dy$ där $\gamma$ = enhetscirkeln, moturs.

$F_1 = y^2 + x$ , $F_2 = x^2$

$\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 2x - 2y$

= \iint_{x^2+y^2 \leq 1} (2x - 2y) \, dA

Symmetri: $\iint x \, dA = 0$ och $\iint y \, dA = 0$ (integranden är udda, regionen symmetrisk).

Svar: 0

Halvcirkeltrick (klassisk tentauppgift)

Problem: Kurvintegral längs halvcirkeln $C$ (öppna kurvan, ej sluten).

Strategi: Slut kurvan med ett linjesegment $L$ , använd Green på hela den slutna kurvan, subtrahera sedan $L$ .

\int_C = \int_{C + L} - \int_L = \iint_D \text{(Green)} - \int_L \text{(enkel parametrisering)}

Koppling till konservativa fält

Om $\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 0$ överallt, säger Greens sats att $\oint \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$ för varje sluten kurva → fältet är konservativt (på enkelt sammanhängande områden).

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 3.13: Samma kurvintegral löst med tre metoder: parametrisering, potential, och Green.

Uppgift 3.14: $\oint (y^2 + x)dx + x^2 dy$ — snabb med Green.

Uppgift 3.16: $\oint -y^3 dx + x^3 dy$ — övergår till dubbelintegral i polära.

Uppgift 3.17–3.18: Jämför $\oint y\,dx + x\,dy$ (konservativt → 0) med $\oint -y\,dx + x\,dy$ (area!).

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Green's Theorem

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 3.13
Uppgift 3.13. Beräkna kurvintegralen $\int_{\gamma} 2x \, dx + 2y \, dy$ , där $\gamma$ är enhetscirken genomlöpt ett varv i positiv led med start och slut i punkten $(1,0)$ , på tre olika sätt:

a) genom att parametrisera $\gamma$ ,
b) genom att hitta en potentialfunktion,
c) genom att använda Greens formel.

3.13. 0.
Uppgift 3.14
Uppgift 3.14. Beräkna med hjälp av Greens formel $\int_{\gamma}(y^{2} + x)dx + x^{2}dy$ , där $\gamma$ är enhetscirkeln genomlöpt ett varv i positiv led.

3.14. 0.
Uppgift 3.16
Uppgift 3.16. Beräkna $\int_{\gamma} -y^{3}dx + x^{3}dy$ , där $\gamma$ är den positivt orienterade randen till enhetscirkeln.

3.16. $3\pi /2$ .
Uppgift 3.17
Uppgift 3.17. Beräkna kurvintegralen $\int_{\gamma}y dx + x dy$ om $\gamma$ är den positivt orienterade randen till området som ges av olikheterna $x^{2} \leq y \leq x$ .

3.17. 0.
Uppgift 3.18
Uppgift 3.18. Beräkna kurvintegralen $\int_{\gamma} -y dx + x dy$ om $\gamma$ är den positivt orienterade randen till området som ges av olikheterna $x^{2} \leq y \leq x$ .

3.18. $1/3$ .