Generaliserade integraler

Intuition: Vad händer om regionen sträcker sig till oändligheten, eller om integranden "blåser upp"? Vi kan ändå definiera integralen som en gräns — precis som generaliserade integraler i envariabel.

Idén

Om $D$ inte är kompakt (t.ex. hela $\mathbb{R}^2$), definiera:

$$\iint_D f \, dA = \lim_{n \to \infty} \iint_{D_n} f \, dA$$

där $D_1 \subset D_2 \subset \cdots$ är en växande följd av kompakta regioner med $\bigcup_n D_n = D$.

Om gränsen existerar (och är oberoende av val av $D_n$), säger vi att integralen konvergerar.

Vanligaste fallen

Obegränsad region

Exempel: $\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2-y^2} \, dA$

Approximera med diskar $D_R: x^2 + y^2 \leq R^2$, låt $R \to \infty$:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^R e^{-r^2} r \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2}(1 - e^{-R^2}) \to \pi$$

Obegränsad integrand

$f$ blåser upp i en punkt, t.ex. $f = 1/\sqrt{x^2+y^2}$ nära origo.

Ta bort en liten disk kring singulariteten och låt radien $\to 0$.

Uppskattning av integraler

Ibland kan man inte beräkna en integral exakt, men man kan uppskatta den:

Om $m \leq f(x,y) \leq M$ på $D$, då:

$$m \cdot \text{Area}(D) \leq \iint_D f \, dA \leq M \cdot \text{Area}(D)$$

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.5: Uppskatta $\iint_D e^{x^2+y^2}\sin y \, dA$ på halva enhetsdisken — du kan inte beräkna exakt, men du kan ge gränser.

Uppgift 2.9: Gaussintegralen $\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2-y^2} \, dA = \pi$ — den mest berömda generaliserade integralen.