Variabelbyte & polära koordinater
Intuition: Precis som u-substitution i envariabelanalys, men i 2D. Om regionen eller integranden ser "cirkulär" ut, byt till polära koordinater. Den extra faktorn r r r
Allmän substitutionsformel
Om x = x ( u , v ) x = x(u,v) x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) y = y(u,v) y = y ( u , v ) E E E D D D
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ E f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ d u d v \iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \iint_E f(x(u,v), y(u,v)) \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| \, du \, dv ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ E f ( x ( u , v ) , y ( u , v )) ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) d u d v ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y )
Intuition: Jacobideterminanten mäter hur mycket variabelbytet sträcker eller komprimerar areor. Den spelar samma roll som ∣ u ′ ( x ) ∣ |u'(x)| ∣ u ′ ( x ) ∣
Polär substitution (viktigast!)
x = r cos θ x = r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y = r\sin\theta y = r sin θ
∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = det ( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ) = r \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r ∂ ( r , θ ) ∂ ( x , y ) = det ( cos θ sin θ − r sin θ r cos θ ) = r ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ E f ( r cos θ , r sin θ ) ⋅ r d r d θ \boxed{\iint_D f(x,y) \, dx\,dy = \iint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, dr\,d\theta} ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ E f ( r cos θ , r sin θ ) ⋅ r d r d θ Glöm inte faktorn r r r (Det vanligaste felet.)
När ska du använda polära?
Regionen D D D
Integranden innehåller x 2 + y 2 x^2 + y^2 x 2 + y 2 r 2 r^2 r 2
Båda ovan: definitivt polära!
Klassiskt exempel: Gaussintegralen
∬ R 2 e − x 2 − y 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 ⋅ r d r d θ = 2 π ⋅ 1 2 = π \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2-y^2} \, dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2} \cdot r \, dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi ∬ R 2 e − x 2 − y 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 ⋅ r d r d θ = 2 π ⋅ 2 1 = π Alltså ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = π \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx\right)^2 = \pi ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = π ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π
Annat vanligt variabelbyte: Elliptiskt
För en ellips x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1 a 2 x 2 + b 2 y 2 ≤ 1 x = a u x = au x = a u y = b v y = bv y = b v
Jacobian: ∣ a b ∣ |ab| ∣ ab ∣ u 2 + v 2 ≤ 1 u^2 + v^2 \leq 1 u 2 + v 2 ≤ 1
Exempel
∬ E x 2 d A \iint_E x^2 \, dA ∬ E x 2 d A E : x 2 + 2 y 2 ≤ 2 , y ≥ 0 E: x^2 + 2y^2 \leq 2, y \geq 0 E : x 2 + 2 y 2 ≤ 2 , y ≥ 0
Sätt x = 2 u x = \sqrt{2}u x = 2 u y = v y = v y = v 2 \sqrt{2} 2 E E E
Sedan polära: u = r cos θ u = r\cos\theta u = r cos θ v = r sin θ v = r\sin\theta v = r sin θ
Nyckelövningar från seminariet
Uppgift 2.8: ∬ e x 2 + y 2 d A \iint e^{\sqrt{x^2+y^2}} \, dA ∬ e x 2 + y 2 d A
Uppgift 2.9: Gaussintegralen ∬ e − x 2 − y 2 d A \iint e^{-x^2-y^2} \, dA ∬ e − x 2 − y 2 d A
Uppgift 2.10: Generellt variabelbyte med u = y − 2 x u = y - 2x u = y − 2 x v = x + y v = x + y v = x + y
Uppgift 2.12: Elliptisk substitution + polära.