Itererad integration

Intuition: En dubbelintegral ser komplex ut, men den beräknas genom att göra en integral i taget — först den inre (håll den yttre variabeln fix), sedan den yttre. Precis som att äta en pizza: en rad åt gången.

Formeln

Inre integral i $y$ först ($y$-vertikal region)

$$\iint_D f(x,y) \, dA = \int_a^b \underbrace{\left(\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) \, dy\right)}_{\text{beror på } x} dx$$

1. Inre integralen: Integrera $f$ med avseende på $y$ (behandla $x$ som konstant)
2. Yttre integralen: Integrera resultatet med avseende på $x$

Inre integral i $x$ först ($x$-horisontell region)

$$\iint_D f(x,y) \, dA = \int_c^d \left(\int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y) \, dx\right) dy$$

Steg-för-steg

Exempel: Triangel med hörn $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,3)$

Rita! Triangeln begränsas av $x = 0$ till $x = 1$, och $y = 0$ till $y = 3x$.

$$\iint_T (xy - y) \, dA = \int_0^1 \int_0^{3x} (xy - y) \, dy \, dx$$

Inre ($y$):

$$\int_0^{3x} (xy - y) \, dy = \left[\frac{xy^2}{2} - \frac{y^2}{2}\right]_0^{3x} = \frac{9x^3}{2} - \frac{9x^2}{2}$$

Yttre ($x$):

$$\int_0^1 \left(\frac{9x^3}{2} - \frac{9x^2}{2}\right) dx = \frac{9}{8} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{8}$$

Att byta integrationsordning

Varför: Ibland ger en ordning en integral du inte kan lösa (t.ex. $\int e^{y^2} dy$).

Hur:

1. Rita regionen $D$ från de givna gränserna
2. Beskriv $D$ med den andra typen (horisontell ↔ vertikal)
3. Skriv om integralen med nya gränser

Exempel: Byta ordning

$$\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2} \, dy \, dx$$

Steg 1: Rita! $x$ går 0 till 1, $y$ går $x$ till 1 → triangel under $y = x$.

Steg 2: Som $x$-horisontell: $y$ från 0 till 1, $x$ från 0 till $y$

Steg 3:

$$\int_0^1 \int_0^y e^{y^2} \, dx \, dy = \int_0^1 ye^{y^2} \, dy = \frac{1}{2}(e-1)$$

Vanliga misstag

• Fel gränser: Inre gränser ska bero på den yttre variabeln, yttre gränser ska vara konstanter
• Glömma rita: Det är väldigt svårt att se gränserna utan en figur
• Blanda ihop ordningen: Om $dy$ är innerst, integrera $y$ först (med $x$ konstant)

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.3: $\iint (x^2 - y^2) \, dA$ på triangelformad region.

Uppgift 1.4: $D: |y| \leq x \leq 1$ — beskriv regionen noggrant.

Uppgift 2.11: Byt integrationsordning på $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ — klassiker!