Dubbelintegralen & reguljära regioner

Intuition: En enkelintegral beräknar arean under en kurva. En dubbelintegral beräknar volymen under en yta. $\iint_D f(x,y) \, dA$ = "summera höjden $f$ över hela regionen $D$".

Definitionen

$$\iint_D f(x,y) \, dA$$

• $D$ = regionen vi integrerar över (i $xy$-planet)
• $f(x,y)$ = "höjden" i varje punkt
• $dA$ = arealementet (en liten ruta $dx \, dy$)

Tolkning:

• Om $f \geq 0$: volymen av kroppen mellan $D$ och grafen $z = f(x,y)$
• Om $f = 1$: arean av $D$

Reguljära regioner

Det vi behöver för att kunna beräkna dubbelintegraler: beskriva $D$ med olikheter.

$y$-vertikal region

$x$ varierar mellan konstanter, $y$ varierar mellan funktioner av $x$:

$$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b, \; c(x) \leq y \leq d(x)\}$$

Tänk: "för varje fixt $x$, var börjar och slutar $y$?"

$$\iint_D f \, dA = \int_a^b \left(\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) \, dy\right) dx$$

$x$-horisontell region

$y$ varierar mellan konstanter, $x$ varierar mellan funktioner av $y$:

$$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d, \; a(y) \leq x \leq b(y)\}$$

$$\iint_D f \, dA = \int_c^d \left(\int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y) \, dx\right) dy$$

Exempel: Övre halva enhetsdisken

$D = \{x^2 + y^2 \leq 1, y \geq 0\}$

Som $y$-vertikal:

$$-1 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq \sqrt{1 - x^2}$$

Som $x$-horisontell:

$$0 \leq y \leq 1, \quad -\sqrt{1 - y^2} \leq x \leq \sqrt{1 - y^2}$$

Byta integrationsordning

Ibland är integralen omöjlig med en ordning men enkel med den andra.

Klassiker: $\int_0^1 \int_x^1 e^{y^2} \, dy \, dx$

$e^{y^2}$ har ingen primitiv! Men byt ordning:

Region: $0 \leq x \leq y$, $0 \leq y \leq 1$ (triangel under $y = x$)

$$= \int_0^1 \int_0^y e^{y^2} \, dx \, dy = \int_0^1 y \, e^{y^2} \, dy = \frac{1}{2}(e - 1)$$

RITA ALLTID FIGUREN!

Det enskilt viktigaste tipset. Rita regionen $D$, markera gränserna, och läs av integrationsgränserna från bilden.

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.1: Grundfall — rektangulär region, integrera $x$ eller $x^2$.

Uppgift 1.2: Triangel — rita och beskriv med olikheter.

Uppgift 1.6: Region begränsad av parabel och linje — beskriv som $y$-vertikal.

Uppgift 1.7: Region $x^2 \leq y \leq x$ — klassisk.