Implicita funktioner

Intuition: Ibland definieras en funktion inte explicit ("$y = \ldots$") utan implicit genom en ekvation ("$F(x, y) = 0$"). Till exempel definierar $x^2 + y^2 = 1$ (cirkeln) $y$ som funktion av $x$ lokalt — men bara om vi vet var vi är (övre eller undre halvcirkel). Implicita funktionssatsen berättar när vi kan lösa ut och hur derivatorna ser ut.

Implicita funktionssatsen (enkel version)

Givet $F(x, y) = 0$ med $F(a, b) = 0$. Om:

• $F$ har kontinuerliga partiella derivator
• $F_y(a, b) \neq 0$

Då kan $y$ lösas ut som funktion av $x$ lokalt kring $(a, b)$: $y = y(x)$.

Och derivatan ges av:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

Varför $F_y \neq 0$?

Om $F_y = 0$ är "ytan" lodrät i $y$-led — flera $y$-värden för samma $x$. Tänk cirkeln i $(1, 0)$: $F_y = 2y = 0$, kurvan vänder vertikalt — man kan inte lösa ut $y$ som funktion av $x$ där.

Generella versionen

Givet ekvationssystem $F_1 = 0, \ldots, F_n = 0$ i $(n + m)$ variabler. Välj $n$ variabler. Om Jacobideterminanten med avseende på dessa $n$ variabler $\neq 0$, kan de lösas ut som funktioner av de övriga $m$ variablerna.

Derivatorna ges av:

$$J_{\text{ut}} = -J_F^{-1} \cdot J_{\text{fri}}$$

där $J_F$ är Jacobian m.a.p. de utlösta variablerna och $J_{\text{fri}}$ m.a.p. de fria.

Typiskt tentaproblem

Given: Ekvation $F(x, y, z) = 0$ och en punkt $P$ där $F = 0$.

Fråga: Lösa ut $z = \varphi(x, y)$ kring $P$. Bestäm linjäriseringen.

Metod:

1. Kolla att $F_z(P) \neq 0$ (annars kan inte $z$ lösas ut)
2. $\varphi_x = -F_x/F_z$ och $\varphi_y = -F_y/F_z$ (evaluerade i $P$)
3. Linjäriseringen: $\varphi(x, y) \approx z_0 + \varphi_x(x - x_0) + \varphi_y(y - y_0)$

Exempel

$F(x, y, z) = \sin(x + 2y + \pi z) - xyz^2 = 0$ kring $P = (0, 0, 1)$.

$F_z = \pi\cos(x + 2y + \pi z) - 2xyz$

$F_z(0, 0, 1) = \pi\cos(\pi) - 0 = -\pi \neq 0$ ✓

$F_x = \cos(x + 2y + \pi z) - yz^2$, $F_x(0,0,1) = \cos(\pi) - 0 = -1$

$F_y = 2\cos(x + 2y + \pi z) - xz^2$, $F_y(0,0,1) = -2$

$\varphi_x = -\frac{-1}{-\pi} = -\frac{1}{\pi}$, $\varphi_y = -\frac{-2}{-\pi} = -\frac{2}{\pi}$

$$\varphi(x,y) \approx 1 - \frac{1}{\pi}x - \frac{2}{\pi}y$$

Nyckelövningar från seminariet

Tentamen 23.06.02 P6: Implicit funktion $w = \varphi(x,y,z)$ — linjärisering och tangentplan.

Tentamen 22.10.26 P6: Lösa ut $z = \varphi(x,y)$ från $\sin(x + 2y + \pi z) - xyz^2 = 0$.

Tips: Kolla alltid att Jacobideterminanten $\neq 0$ — det är förvillkoret!