Lagranges multiplikatormetod

Intuition: Du vill hitta den högsta/lägsta punkten men du måste stanna på en given kurva eller yta (bivillkoret). Lagranges metod säger: i optimum pekar $\nabla f$ i samma riktning som $\nabla g$ — annars kunde du röra dig längs kurvan och förbättra $f$.

Idén

Problem: Maximera/minimera $f(x, y)$ givet att $g(x, y) = 0$.

Geometrisk insikt: I en optimal punkt är nivåkurvan till $f$ tangent till kurvan $g = 0$. Det innebär att gradienterna är parallella:

$$\nabla f = \lambda \nabla g$$

Sättet

Skriv upp Lagrangefunktionen:

$$L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \cdot g(x, y)$$

och lös:

$$\nabla L = \mathbf{0} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f_x + \lambda g_x = 0 \\ f_y + \lambda g_y = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases}$$

Tre ekvationer, tre obekanta ($x, y, \lambda$).

Steg-för-steg

1. Ställ upp $L = f + \lambda g$
2. Beräkna $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial L}{\partial y} = 0$, $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$ (= bivillkoret)
3. Lös ekvationssystemet
4. Jämför $f$-värdena i alla lösningar — störst = max, minst = min

Exempel: Optimera $f = x^2 + y^2$ på $x^2 + 2y^2 = 1$

$g(x,y) = x^2 + 2y^2 - 1 = 0$

$L = x^2 + y^2 + \lambda(x^2 + 2y^2 - 1)$

$$L_x = 2x + 2\lambda x = 2x(1 + \lambda) = 0$$

$$L_y = 2y + 4\lambda y = 2y(1 + 2\lambda) = 0$$

$$L_\lambda = x^2 + 2y^2 - 1 = 0$$

Från $L_x = 0$: $x = 0$ eller $\lambda = -1$

Fall 1: $x = 0$ → från bivillkoret: $2y^2 = 1$, $y = \pm 1/\sqrt{2}$. $f = 1/2$.

Fall 2: $\lambda = -1$ → från $L_y$: $2y(1 - 2) = -2y = 0$, $y = 0$. Bivillkor: $x^2 = 1$, $x = \pm 1$. $f = 1$.

Svar: Min = $1/2$ (i $(0, \pm 1/\sqrt{2})$), Max = $1$ (i $(\pm 1, 0)$).

Flera bivillkor

Med två bivillkor $g_1 = 0$ och $g_2 = 0$:

$$L = f + \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2$$

Fler ekvationer → fler obekanta. Principen är samma.

Tre variabler

Fungerar likadant i 3D. $f(x,y,z)$ med bivillkor $g(x,y,z) = 0$:

$$\nabla f = \lambda \nabla g$$

Fyra ekvationer ($f_x = \lambda g_x$, $f_y = \lambda g_y$, $f_z = \lambda g_z$, $g = 0$), fyra obekanta ($x, y, z, \lambda$).

Tips

• Ekvationssystemen blir ofta icke-linjära — var systematisk!
• Specialtrick: dela ekvationer med varandra för att eliminera $\lambda$
• Glöm inte existensargumentet (kompakt kurva + kontinuerlig funktion)
• $\lambda$ behöver inte bestämmas om frågan bara ber om max/min-värdet

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 2.8: $f = x^2 + y^2$ på $x^2 + 2y^2 = 1$ — löss med parametrisering OCH Lagrange.

Uppgift 2.9: Minsta avstånd från $y = 1 - x^2$ till origo.

Uppgift 2.10: Optimering i 3D: $f = x^2 + 2y^2 + z^2$ på $x^2 + y^2 + 2z^2 = 2$.

Uppgift 2.11: Dubbla bivillkor — skärning av sfär och paraboloid.