OptimeringAvsnitt 3 av 5

Optimering på kompakta områden

Intuition: Om du letar efter den högsta och lägsta punkten i en inhägnad trädgård, kan det finnas en kulle i mitten (kritisk punkt) — men det högsta/lägsta kan också vara vid staketet (randen). Du måste kolla alla kandidater.

Strategin

På en kompakt mängd $D$ (sluten + begränsad) vet vi att max och min existerar (Weierstrass). Kandidaterna är:

1. Inre kritiska punkter

Lös $\nabla f = \mathbf{0}$ i det inre av $D$ .

2. Singulära punkter

Punkter där $\nabla f$ inte existerar (sällsynt men tänk på $\sqrt{x^2 + y^2}$ i origo).

3. Randpunkter

Undersök $f$ på randen $\partial D$ .

Randundersökning

Metod 1: Parametrisering

Om randen är en kurva, parametrisera den och optimera endimensionellt.

Exempel: Randen till $x^2 + 3y^2 \leq 9$ är ellipsen $x^2 + 3y^2 = 9$ .

Parametrisering: $x = 3\cos t$ , $y = \sqrt{3}\sin t$ , $0 \leq t \leq 2\pi$

Sätt in i $f$ → endimensionell funktion i $t$ → derivera och lös $f'(t) = 0$ .

Metod 2: Lagranges metod (nästa avsnitt)

Behandla randen som ett bivillkor.

Komplett exempel

$g(x,y) = x^2 - 3x + 3y^2$ på $D: x^2 + 3y^2 \leq 9$ .

Steg 1: Inre kritiska punkter

$g_x = 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3/2$

$g_y = 6y = 0 \Rightarrow y = 0$

Kritisk punkt: $(3/2, 0)$ . Kolla att den ligger i $D$ : $(3/2)^2 + 0 = 9/4 \leq 9$ ✓

$g(3/2, 0) = 9/4 - 9/2 = -9/4$

Steg 2: Randen $x^2 + 3y^2 = 9$ , dvs. $3y^2 = 9 - x^2$

Substituera: $g = x^2 - 3x + (9 - x^2) = -3x + 9$

Det är linjärt i $x$ ! Max/min vid ändpunkterna av $x$ : $-3 \leq x \leq 3$

$g(-3) = 18$ , $g(3) = 0$

Steg 3: Jämför alla kandidater

$g(3/2, 0) = -9/4$ , $g(-3, 0) = 18$ , $g(3, 0) = 0$

Min = $-9/4$ , Max = $18$

Vanliga misstag

Glömma att motivera existens (Weierstrass — kompakt + kontinuerlig)
Glömma randen (max/min ligger ofta på randen!)
Glömma att kontrollera att inre kritiska punkter faktiskt ligger i $D$

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.3: Optimering av $g$ på elliptisk disk — inre + rand.

Uppgift 1.4: $h = \sqrt{x^2 + y^2}$ på en kvadrat — singulär punkt i origo!

Uppgift 1.5: $f = x^4 - y^2 - x^2 + y$ på $D = \{x^2 \leq y \leq 1\}$ .

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Optimization, Compactness

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 1.3
Uppgift 1.3. Låt $g(x,y) = x^2 - 3x + 3y^2$ .\na) Hur kan man veta att $g$ antar ett största och ett minsta värde när $(x,y)$ uppfyller $x^2 + 3y^2 \leq 9$ ?\nb) Bestäm dessa värden, genom att undersöka randpunkter och inre kritiska punkter.

1.3. Funktionen $g$ är kontinuerlig på hela mängden $x^{2} + 3y^{2} \leq 9$ som är en kompakt mängd, så max och min finns säkert. Max är 18 och min är $-9/4$ .
Uppgift 1.4
Uppgift 1.4. Betrakta funktionen $h(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ med definitionsmängden $D = \{(x,y): -1 \leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1\}$ .\na) Hur kan man veta att $h$ antar ett största och ett minsta värde?\nb) Bestäm alla kritiska punkter till $h$ och alla punkter där $h$ inte är differentierbar.\nc) Bestäm alla randpunkter till definitionsmängden $D$ .\nd) Bestäm $h$ :s största och minsta värde.

1.4. a) $h$ är kontinuerlig på den kompakta mängden $D$ så max och min finns garanterat. b) Kritiska punkter saknas, ej differentierbar i $(0,0)$ . c) Rita figur d) Största värdet är $\sqrt{2}$ , minsta är 0.
Uppgift 1.5
Uppgift 1.5. Avgör om funktionen $f(x,y) = x^4 - y^2 - x^2 + y$ antar något största respektive minsta värde för $(x,y)$ i området $D = \{(x,y): x^2 \leq y \leq 1\}$ och bestäm i förekommande fall dessa.

1.5. $f$ är kontinuerlig och $D$ är kompakt så största och minsta värde finns. Största värdet är $1/4$ och minsta värdet är $-1/4$ .