Hessianen

Intuition: Vi hittade en kritisk punkt ($\nabla f = 0$). Men är det ett max, min eller en sadelpunkt? Hessianen (andraderivatatestet) svarar på det — precis som i endimensionellt: $f'' > 0$ → min, $f'' < 0$ → max. Fast nu i 2D.

Testet

Låt $(a, b)$ vara en kritisk punkt ($\nabla f(a,b) = \mathbf{0}$). Definiera:

$$A = f_{xx}(a,b), \quad B = f_{xy}(a,b), \quad C = f_{yy}(a,b)$$

Beräkna diskriminanten:

$$D = AC - B^2$$

$D$	$A$	Slutsats
$D > 0$	$A > 0$	Lokalt minimum
$D > 0$	$A < 0$	Lokalt maximum
$D < 0$	—	Sadelpunkt
$D = 0$	—	Testet säger inget! (behöver annan metod)

Minnesregel

$D > 0$ och $A > 0$ → ytans krökning är uppåt i alla riktningar → min

$D > 0$ och $A < 0$ → ytans krökning är nedåt i alla riktningar → max

$D < 0$ → ytans krökning går åt olika håll → sadelpunkt

Hessianmatrisen

Testet ovan kommer egentligen från Hessianmatrisen:

$$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}$$

$D = \det(H) = AC - B^2$ = Hessianens determinant.

Testet avgör om den kvadratiska formen $Ah^2 + 2Bhk + Ck^2$ är positivt definit, negativt definit, eller indefinit — precis som i Modul 3!

Steg-för-steg: Klassificera alla kritiska punkter

1. Beräkna $\nabla f$ och lös $\nabla f = \mathbf{0}$
2. Beräkna $A$, $B$, $C$ (andraderivator)
3. Beräkna $D = AC - B^2$ i varje kritisk punkt
4. Använd tabellen ovan

Exempel

$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$

$f_x = 3x^2 - 3y = 0 \Rightarrow y = x^2$

$f_y = 3y^2 - 3x = 0 \Rightarrow x = y^2$

Insättning: $x = (x^2)^2 = x^4 \Rightarrow x(x^3 - 1) = 0$

Kritiska punkter: $(0, 0)$ och $(1, 1)$

$A = 6x, \; B = -3, \; C = 6y$

• $(0, 0)$: $D = 0 \cdot 0 - 9 = -9 < 0$ → Sadelpunkt
• $(1, 1)$: $D = 6 \cdot 6 - 9 = 27 > 0$ och $A = 6 > 0$ → Lokalt minimum

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.1b: Klassificera kritiska punkter till $f = e^{-x^2 - y^2}$.

Uppgift 1.2: $f = x^3 + y^3 - 3xy$ — sadelpunkt + lokalt min.

OBS: Hessianen fungerar bara i inre punkter. På randen behöver du andra metoder (se nästa avsnitt).