Intuition: Var hittar vi toppen av ett berg eller botten av en dal? Där det är platt i alla riktningar — dvs. där alla partiella derivator är noll. Men bara för att det är platt betyder inte att det är en topp — det kan vara en sadelpunkt (tänk mitten av ett riddjurssadel).
Definitioner
Maximum:f(a,b)≥f(x,y) för alla (x,y) i domänet
Lokalt maximum:f(a,b)≥f(x,y) för alla (x,y) i en omgivning av (a,b)
Minimum/lokalt minimum: Analogt med ≤
Extremvärde: Maximum eller minimum
Kritiska punkter
En punkt (a,b) är kritisk om:
∇f(a,b)=0⇔fx(a,b)=0 och fy(a,b)=0
Intuition: Ytan är "platt" i alla riktningar — ingen lutning.
Tre typer av kritiska punkter
Lokalt maximum — toppen av ett berg
Lokalt minimum — botten av en dal
Sadelpunkt — max i en riktning, min i en annan (som ett bergspass)
Existens av extremvärden
Stora frågan:Finns det ens ett max/min?
Weierstrass sats: Om f är kontinuerlig på en kompakt mängd ($= $ sluten + begränsad), då finns max och min.
Om mängden inte är kompakt, kan max eller min saknas!
Exempel:f(x,y)=e−x2−y2 på hela R2. Max finns (= 1 i origo), men min saknas — funktionen närmar sig 0 men når det aldrig.
Kandidater för extremvärden (på kompakt mängd D)
Max/min måste inträffa i en av dessa:
Typ
Vad det är
Var
Kritiska punkter
∇f=0
Inre av D
Singulära punkter
∇f existerar inte
Inre av D
Randpunkter
Punkter på ∂D
Randen
Strategi: Hitta ALLA kandidater → beräkna f i var och en → största = max, minsta = min.
Nyckelövningar från seminariet
Uppgift 1.1:f=e−x2−y2 — kritisk punkt i origo (lokalt max), men inget min.
Uppgift 1.2:f=x3+y3−3xy — sadelpunkt i (0,0), lokalt min i (1,1).
Uppgift 1.1. Låt f(x,y)=e−x2−y2.\na) Vad är definitionsmängden för f?\nb) Bestäm och klassificera alla kritiska punkter till f.\nc) Avgör om f antar något största respektive minsta värde.
1.1. a) Hela R2. b) Enda kritiska punkten är (0,0) som är en lokal maxpunkt. c) Minsta värde saknas, största värdet är 1.
Uppgift 1.2
Uppgift 1.2. Låt f(x,y)=x3+y3−3xy. Bestäm och klassificera alla kritiska punkter till f.
1.2. Sadelpunkt i (0,0). Lokalt min i (1,1).
Uppgift 1.3
Uppgift 1.3. Låt g(x,y)=x2−3x+3y2.\na) Hur kan man veta att g antar ett största och ett minsta värde när (x,y) uppfyller x2+3y2≤9?\nb) Bestäm dessa värden, genom att undersöka randpunkter och inre kritiska punkter.
1.3. Funktionen g är kontinuerlig på hela mängden x2+3y2≤9 som är en kompakt mängd, så max och min finns säkert. Max är 18 och min är −9/4.
Uppgift 1.4
Uppgift 1.4. Betrakta funktionen h(x,y)=x2+y2 med definitionsmängden D={(x,y):−1≤x≤1,−1≤y≤1}.\na) Hur kan man veta att h antar ett största och ett minsta värde?\nb) Bestäm alla kritiska punkter till h och alla punkter där h inte är differentierbar.\nc) Bestäm alla randpunkter till definitionsmängden D.\nd) Bestäm h:s största och minsta värde.
1.4. a) h är kontinuerlig på den kompakta mängden D så max och min finns garanterat. b) Kritiska punkter saknas, ej differentierbar i (0,0). c) Rita figur d) Största värdet är 2, minsta är 0.