Kvadratiska former

Intuition: En kvadratisk form är ett uttryck som $ax^2 + 2bxy + cy^2$ — det ser ut som en "skål" (uppåt eller nedåt) eller en "sadel" beroende på koefficienterna. Att klassificera kvadratiska former berättar om krökningen av en yta runt en punkt.

Vad är en kvadratisk form?

Ett homogent polynom av grad 2:

$$Q(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2$$

I tre variabler: $Q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz$

Klassificering

I två variabler ($ax^2 + 2bxy + cy^2$)

Typ	Betydelse	Villkor
Positivt definit	Alltid $> 0$ (utom i origo)	$a > 0$ och $ac - b^2 > 0$
Negativt definit	Alltid $< 0$ (utom i origo)	$a < 0$ och $ac - b^2 > 0$
Indefinit	Kan vara både $> 0$ och $< 0$	$ac - b^2 < 0$
Positivt semidefinit	Alltid $\geq 0$, men $= 0$ ibland	$ac - b^2 = 0$, $a \geq 0$
Negativt semidefinit	Alltid $\leq 0$, men $= 0$ ibland	$ac - b^2 = 0$, $a \leq 0$

Tänk: Hessianens test (förhandsvisning av Modul 4)

Denna klassificering är exakt det vi kommer att använda med Hessianen för att avgöra om kritiska punkter är max, min eller sadelpunkter!

Metod: Kvadratkomplettering

Skriv om $Q$ så att du ser om det alltid är positivt, negativt, eller blandat.

Exempel 1

$Q = -2x^2 - 2xy - 2y^2$

$= -2(x^2 + xy + y^2)$

$= -2\left[(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2\right]$

Inuti hakparentesen: summan av två kvadrater, alltid $\geq 0$. Med $-2$ framför: alltid $\leq 0$. Lika med 0 bara om $x = y = 0$.

Slutsats: Negativt definit.

Exempel 2

$Q = 6x^2 + 2xy = 6(x + \frac{1}{6}y)^2 - \frac{1}{6}y^2$

En positiv kvadrat minus en annan — kan ge både positivt och negativt.

Slutsats: Indefinit.

Exempel 3

$Q = 4x^2 + 52xy + 169y^2 = (2x + 13y)^2$

En enda kvadrat: alltid $\geq 0$, men $= 0$ på linjen $2x + 13y = 0$.

Slutsats: Positivt semidefinit.

Koppling till matriser (valfritt)

$Q(x,y) = ax^2 + 2bxy + cy^2$ kan skrivas $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ där $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$.

• Positivt definit ⟺ alla egenvärden > 0
• Negativt definit ⟺ alla egenvärden < 0
• Indefinit ⟺ egenvärden med olika tecken

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 3.12: Klassificera tre olika kvadratiska former — användkvadrat­komplettering.

Uppgift 3.13: Visa att $xy + xz + yz \leq x^2 + y^2 + z^2$ — skriv om som en positivt semidefinit form!