Taylorpolynom

Intuition: Taylorpolynom i en variabel approximerar en funktion med ett polynom kring en punkt. I flera variabler: samma idé, fast nu behöver vi fler termer eftersom funktionen kan "böja sig" i fler riktningar.

Recap: Taylor i en variabel

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \cdots$$

• Grad 0: konstant approximation ($f(a)$)
• Grad 1: linjär approximation (tangentlinjen)
• Grad 2: kvadratisk approximation (fångar krökning)

Taylorpolynom av grad 2 i två variabler

$$P_2(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$$

$$+ \frac{1}{2}\Big[f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2\Big]$$

Steg-för-steg

1. Beräkna $f(a,b)$
2. Beräkna $f_x(a,b)$ och $f_y(a,b)$
3. Beräkna $f_{xx}(a,b)$, $f_{xy}(a,b)$ och $f_{yy}(a,b)$
4. Plugga in i formeln

Så tänker du

• Grad 0-termen: funktionens värde i punkten
• Grad 1-termerna: lutningen (= linjäriseringen)
• Grad 2-termerna: krökningen — hur funktionen böjer sig

Exempel

$f(x,y) = y/x$ kring $(1, 2)$.

$f(1,2) = 2$

$f_x = -y/x^2 \Rightarrow f_x(1,2) = -2$

$f_y = 1/x \Rightarrow f_y(1,2) = 1$

$f_{xx} = 2y/x^3 \Rightarrow f_{xx}(1,2) = 4$

$f_{xy} = -1/x^2 \Rightarrow f_{xy}(1,2) = -1$

$f_{yy} = 0$

$$P_2(x,y) = 2 - 2(x-1) + (y-2) + \frac{1}{2}\Big[4(x-1)^2 - 2(x-1)(y-2)\Big]$$

Entydighetssatsen

Om $f(x,y)$ är ett polynom, kan du läsa av Taylorkoefficienterna direkt.

Nyckelegenskapen: Taylorpolynomet av grad $n$ kring $(a,b)$ är det unika polynom av grad $\leq n$ som matchar $f$ och alla dess derivator upp till ordning $n$ i $(a,b)$.

Trik: Om du har $f(x,y) = e^{x}\cos(y)$ kring $(0,0)$: använd kända envariabel-expansioner!

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots$ och $\cos y = 1 - \frac{y^2}{2} + \cdots$

Multiplicera och behåll termer upp till önskad grad:

$f \approx (1 + x + \frac{x^2}{2})(1 - \frac{y^2}{2}) = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} + \cdots$ (grad 2)

Koppling till optimering

Taylorpolynomet av grad 2 spelar en nyckelroll i Modul 4: den kvadratiska termen avgör om en kritisk punkt är max, min eller sadelpunkt.

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 3.14: Taylorpolynom av grad 2 till $f(x,y) = y/x$ kring $(1,2)$.

Uppgift 3.15: Taylorpolynom till $f(x,y,z) = \ln(1 + 2x + 3y - z)$ — med tre variabler!

Uppgift 3.16: Omvänt: avläs derivator från ett givet Taylorpolynom. $f'_x(3,5) = 7$ etc.