Konservativa fält & potentialfunktioner

Intuition: Ett konservativt fält är som gravitationen — arbetet beror bara på start och slut, inte på vägen. Om du bär en sten från marken till 3:e våningen spelar det ingen roll om du tar trappan eller hissen — samma energi. Icke-konservativa fält, som friktion, beror på vägen.

Definition

Ett vektorfält $\mathbf{F}$ är konservativt om det finns en funktion $\varphi$ (kallad potential) så att:

$$\mathbf{F} = \nabla \varphi$$

Grundläggande satsen för kurvintegraler

Om $\mathbf{F} = \nabla \varphi$ (konservativt), och $C$ går från $P$ till $Q$:

$$\boxed{\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \varphi(Q) - \varphi(P)}$$

Konsekvenser:

• Integralen beror bara på ändpunkterna — inte på vilken väg vi tar!
• För slutna kurvor ($P = Q$): $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$

Hur kollar jag om fältet är konservativt?

I 2D: $\mathbf{F} = (F_1, F_2)$

Nödvändigt villkor:

$$\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}$$

Tillräckligt om definitionsområdet är enkelt sammanhängande (inga hål!).

I 3D: $\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)$

Kolla alla tre par:

$$\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}, \quad \frac{\partial F_1}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial x}, \quad \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial y}$$

Varning om hål!

$\mathbf{F} = \frac{1}{x^2+y^2}(-y, x)$ uppfyller $\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}$, men är ej konservativt på planet utan origo — för det finns ett hål (origo)! Kurvintegralen runt enhetscirkeln = $2\pi \neq 0$.

Men: samma fält är konservativt om vi tar bort en halvlinje (t.ex. positiva $x$-axeln) — då finns inga hål.

Hur hittar jag potentialen?

Metoden (i 2D)

Givet $\mathbf{F} = (F_1, F_2)$:

Steg 1: Integrera $F_1$ med avseende på $x$:

$$\varphi(x, y) = \int F_1 \, dx + c(y)$$

(funktionen $c(y)$ är "integralkonstanten" — den kan bero på $y$!)

Steg 2: Derivera resultatet med avseende på $y$ och jämför med $F_2$:

$$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = F_2 \quad \Rightarrow \quad \text{bestäm } c(y)$$

Exempel

$\mathbf{F} = (2x^3y^2, \, x^4y - \sin y)$

Steg 1: $\varphi = \int 2x^3y^2 \, dx = \frac{1}{2}x^4y^2 + c(y)$

Steg 2: $\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^4y + c'(y) \stackrel{!}{=} x^4y - \sin y$

$\Rightarrow c'(y) = -\sin y \Rightarrow c(y) = \cos y$

Svar: $\varphi(x,y) = \frac{1}{2}x^4y^2 + \cos y$

Sammanfattning: Strategi vid kurvintegraler

1. Kolla: Är $\mathbf{F}$ konservativt? (korsvillkoret + inga hål)
2. Om ja: Hitta potential $\varphi$, beräkna $\varphi(Q) - \varphi(P)$
3. Om nej (eller oklart): Parametrisera kurvan och räkna direkt

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 2.6: $\mathbf{F} = (3x^2y + y, x^3 + x + 1)$ — konservativt! Potential: $\varphi = x^3y + xy + y$.

Uppgift 2.7: $\mathbf{F} = (3x^2y + xy, x^3)$ — ej konservativt ($\partial F_1/\partial y \neq \partial F_2/\partial x$).

Uppgift 2.8: $\mathbf{F} = (yz, xz, xy)$ i 3D — konservativt med potential $\varphi = xyz$.

Uppgift 2.10: Sluten kurva + konservativt fält $\Rightarrow$ integral = 0, direkt!