Kurvintegraler genom vektorfält

Intuition: Tänk dig att du går längs en stig i blåsväder. Ibland blåser vinden med dig (positivt arbete), ibland mot dig (negativt arbete). Kurvintegralen summerar vindens bidrag längs hela stigen.

Definitionen

Låt $\mathbf{F}$ vara ett vektorfält och $C$ en kurva parametriserad av $\mathbf{r}(t)$, $a \leq t \leq b$:

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t) \, dt$$

Rent praktiskt (i 2D)

Om $\mathbf{F} = (F_1, F_2)$ och $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$:

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \left[F_1(x(t), y(t)) \cdot \dot{x}(t) + F_2(x(t), y(t)) \cdot \dot{y}(t)\right] dt$$

Alternativ notation: $\int_C F_1 \, dx + F_2 \, dy$

Steg-för-steg-metod

1. Parametrisera kurvan: $\mathbf{r}(t) = \ldots$, med intervall $a \leq t \leq b$
2. Beräkna $\dot{\mathbf{r}}(t)$
3. Sätt in $\mathbf{r}(t)$ i $\mathbf{F}$ för att få $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$
4. Skalärprodukten $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \dot{\mathbf{r}}(t)$
5. Integrera från $a$ till $b$

Klassiskt exempel

$\mathbf{F}(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2}(-y, x)$ och $C$ = enhetscirkeln (moturs).

$\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t)$, $0 \leq t \leq 2\pi$

$\dot{\mathbf{r}}(t) = (-\sin t, \cos t)$

$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t, \cos t)$

$\mathbf{F} \cdot \dot{\mathbf{r}} = \sin^2 t + \cos^2 t = 1$

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi$$

Viktiga egenskaper

• Oberoende av parametrisering — bara riktningen spelar roll
• Byter tecken vid riktningsbyte: $\int_{-C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$
• Additiv: Om $C = C_1 + C_2$ (sammansatt kurva): $\int_C = \int_{C_1} + \int_{C_2}$

Fysikalisk tolkning: Arbete

Om $\mathbf{F}$ är en kraft, ger $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ det arbete kraften utför längs $C$.

• Positivt arbete: kraften hjälper rörelsen
• Negativt arbete: kraften motverkar rörelsen
• Noll arbete: kraften står vinkelrätt mot rörelsen

Tips för sammansatta kurvor

Om kurvan har hörn (t.ex. en triangel), dela upp i raka segment och beräkna varje integral separat. Parametrisera varje linje som $\mathbf{r}(t) = (1-t)\mathbf{A} + t\mathbf{B}$, $0 \leq t \leq 1$.

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.1: $\mathbf{F} = (3x, xy)$ längs linje från origo till $(1,2)$ — grundövning.

Uppgift 1.2: $\int y\,dx + x\,dy$ längs parabeln $y = x^2 + 1$.

Uppgift 1.4: Triangel med tre sidor — dela upp och parametrisera varje sida.

Uppgift 1.5: Elliptisk kurva — ibland går det att förenkla genom att notera att nämnaren är konstant på kurvan!