Vektorfält

Intuition: Ett vektorfält tilldelar en pil (vektor) till varje punkt i rummet. Tänk dig en väderkartas vindar — vid varje plats finns en pil som visar vindens riktning och styrka. Eller vatten som strömmar i en flod.

Definitionen

Ett vektorfält $\mathbf{F}: U \to \mathbb{R}^n$ (där $U$ är öppen i $\mathbb{R}^n$) tilldelar varje punkt en vektor:

I planet ($n = 2$):

$$\mathbf{F}(x, y) = (F_1(x, y), \, F_2(x, y))$$

I rummet ($n = 3$):

$$\mathbf{F}(x, y, z) = (F_1(x, y, z), \, F_2(x, y, z), \, F_3(x, y, z))$$

Komponentfunktionerna $F_1, F_2, \ldots$ ska ha kontinuerliga partiella derivator (dvs. vara $C^1$).

Gradient som vektorfält

En viktig källa till vektorfält: gradienten av en funktion $\varphi$:

$$\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)$$

Om ett vektorfält $\mathbf{F}$ är lika med $\nabla \varphi$ för någon funktion $\varphi$, kallas det konservativt och $\varphi$ kallas en potential. Mer om det i nästa avsnitt.

Visualisering

Rita pilar vid en uppsättning punkter. Pilens:

• Riktning = vad $\mathbf{F}$ pekar mot i den punkten
• Längd = styrkan/intensiteten av fältet

Exempel

$\mathbf{F}(x, y) = (-y, x)$ — pilarna snurrar moturs runt origo (rotationsfält).

$\mathbf{F}(x, y) = (x, y)$ — pilarna pekar utåt från origo (källfält).

$\mathbf{F}(x, y) = (1, 0)$ — alla pilar pekar åt höger (konstant fält).

Varför bryr vi oss?

Vektorfält modellerar:

• Krafter (gravitation, elektromagnetism)
• Flöden (vätska, värme, vind)
• Hastigheter (fluidmekanik)

Kurvintegraler genom vektorfält (nästa avsnitt) beräknar t.ex. det arbete en kraft utför längs en bana.