LinjäriseringAvsnitt 6 av 6

Jacobimatrisen

Intuition: Derivatan av en funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ är ett tal. Derivatan av en funktion $\mathbf{F}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ är en matris — Jacobimatrisen. Den samlar alla partiella derivator i ett snyggt paket.

Definitionen

Låt $\mathbf{F}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ med $\mathbf{F} = (F_1, F_2, \ldots, F_n)$ . Jacobimatrisen är:

J(\mathbf{F}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_m} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_n}{\partial x_1} & \frac{\partial F_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial x_m} \end{pmatrix}

Storlek: $n$ rader × $m$ kolumner.

Rad $i$ : gradienten av $F_i$ . Alltså $J(\mathbf{F})$ staplar gradienterna av komponentfunktionerna.

Specialfall

Funktionstyp	Jacobian
$f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ (skalär)	$1 \times m$ -matris = $\nabla f^T$ (gradienten som radvektor)
$\mathbf{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ (kurva)	$n \times 1$ -matris = $\dot{\mathbf{r}}$ (tangentvektor)
$\mathbf{F}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$	$2 \times 2$ -matris

Linjär approximation med Jacobimatrisen

Den stora poängen: Jacobimatrisen ger den bästa linjära approximationen:

\mathbf{F}(\mathbf{x}) \approx \mathbf{F}(\mathbf{a}) + J(\mathbf{F})(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a})

Exempel

$\mathbf{F}(x,y) = (x^2 - y^2, 2xy)$ i $(2, -1)$ .

$\mathbf{F}(2, -1) = (4 - 1, -4) = (3, -4)$

J(\mathbf{F}) = \begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad J(\mathbf{F})(2, -1) = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}

Linjär approximation nära $(2, -1)$ :

\mathbf{F}(x, y) \approx \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - 2 \\ y + 1 \end{pmatrix}

Närmevärde: $\mathbf{F}(2.1, -1.2) \approx (3, -4) + (4 \cdot 0.1 + 2 \cdot (-0.2), -2 \cdot 0.1 + 4 \cdot (-0.2)) = (3, -4) + (0, -1) = (3, -5)$

Jacobideterminanten

När $m = n$ (Jacobian är kvadratisk) definierar vi:

\frac{\partial(F_1, \ldots, F_n)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} = \det(J(\mathbf{F}))

Tolkning: Jacobideterminanten mäter hur mycket $\mathbf{F}$ skalar areor/volymer lokalt. Om $|\det J| = 3$ , tredubblas areor. Om $\det J < 0$ , vrids orienteringen.

Koppling till variabelbyte: Vid integration med variabelbyte behöver vi $|\det J|$ som "korrektionsfaktor" (mer i Modul 5).

Kedjeregeln som matrisprodukt

Den kanske snyggaste formeln i hela kursen:

J(f \circ \mathbf{F}) = J(f) \cdot J(\mathbf{F})

Kedjeregeln = Jacobimatrisen av sammansättningen = produkten av Jacobimatriserna.

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 4.19: Beräkna Jacobimatriser för funktioner av olika dimensioner.

Uppgift 4.20: Linjär approximation via Jacobimatrisen — beräkna $J$ , $\det J$ , och approximera funktionsvärden.

Uppgift 4.21: Verifiera kedjeregeln: $J(f \circ g)$ direkt vs $J(f) \cdot J(g)$ .

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Implicit Differentiation

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 4.19
Uppgift 4.19. Bestäm Jacobianen till följande funktioner.
a) $\pmb{f}(x,y) = (xy, x^2 + y^2)$
b) $\pmb{f}(t) = (\cos t, \sin t, t)$
c) $f(x,y,z) = x^2 + yz$
d) $\pmb{f}(x,y,z) = (x + 2y + 3z, xyz)$ i punkten $(x,y,z) = (1,2,3)$

4.19.
a) $\left( \begin{array}{cc} y & x \\ 2x & 2y \end{array} \right)$
b) $\left( \begin{array}{c} -\sin t \\ \cos t \\ 1 \end{array} \right)$
c) $\left(2x \quad z \quad y\right)$
d) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
Uppgift 4.20
Uppgift 4.20. Låt $\pmb{f}(x,y) = (x^{2} - y^{2},2xy)$ .
a) Bestäm Jacobimatris (funktionalmatris) och Jacobideterminant (funktionaldeterminant) i punkten $(2, -1)$ .
b) Bestäm den linjära approximationen till $\pmb{f}(x,y)$ när $(x,y)$ ligger nära $(2, -1)$ .
c) Bestäm med hjälp av detta ett närmevärde till $\pmb{f}(2.1, -1.2)$ .

4.20.
a) $J_{\pmb{f}}(2, -1) = \left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ -2 & 4 \end{array} \right)$ och $\det J_{\pmb{f}}(2, -1) = 20$ .
b) $\pmb{f}(2 + h, -1 + k) \approx \binom{3}{-4} + \binom{4}{-2} + \binom{4}{k}$ .
c) $\pmb{f}(2 + 0.1, -1 - 0.2) \approx \binom{3}{-5}$ .
Uppgift 4.21
Uppgift 4.21. Betrakta funktionerna $\pmb{g}(x,y) = (x^{2},xy)$ och $\pmb{f}(u,v) = (uv,u - v)$ .
a) Bestäm sammansättningen $\pmb{f} \circ \pmb{g}$ .
Bestäm Jacobianen $J(\pmb{f} \circ \pmb{g})$ på två sätt:
b) Direkt från uttrycket för $\pmb{f} \circ \pmb{g}$ .
c) Med kedjeregeln.

4.21.
a) $\pmb{f} \circ \pmb{g}(x, y) = (x^{3}y, x^{2} - xy)$
b) $J_{\pmb{f} \circ \pmb{g}} = \begin{pmatrix} 3x^{2}y & x^{3} \\ 2x - y & -x \end{pmatrix}$ .
c) $J_{\pmb{f} \circ \pmb{g}} = J_{\pmb{f}} J_{\pmb{g}} = \begin{pmatrix} v & u \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2x & 0 \\ y & x \end{pmatrix} = \{u = x^{2}, v = xy\} = \cdots$ .