Gradient & riktningsderivata

Intuition: Gradienten är en pil som pekar "uppför backen" — i den riktning funktionens värde ökar snabbast. Dess längd säger hur brant det är. Riktningsderivatan berättar hur brant det är i vilken riktning som helst.

Gradienten

Gradienten av $f(x, y)$ i $(a, b)$:

$$\nabla f(a, b) = \left(f_x(a, b), \, f_y(a, b)\right)$$

Det är en vektor — den har riktning och längd.

Gradientens tre viktigaste egenskaper

1. $\nabla f$ pekar i riktningen av snabbast ökning av $f$
2. $|\nabla f|$ = hur snabbt $f$ ökar i den riktningen (den maximala riktningsderivatan)
3. $\nabla f$ är vinkelrät (⊥) mot nivåkurvorna — den pekar tvärs över höjdkurvorna

Tänk: höjdkarta

Nivåkurvorna = höjdkurvorna. Gradienten pekar rakt uppför — den kortaste vägen uppåt. Och den står vinkelrät mot höjdkurvorna (precis som vatten rinner rakt ner, inte längs höjdkurvorna).

Riktningsderivatan

Riktningsderivatan i punkt $(a, b)$ i riktning $\mathbf{u}$ (enhetsvektor, $|\mathbf{u}| = 1$):

$$D_{\mathbf{u}} f(a, b) = \mathbf{u} \cdot \nabla f(a, b) = u_1 f_x(a,b) + u_2 f_y(a,b)$$

Tolkning: Lutningen av $f$ om du går i riktning $\mathbf{u}$.

Koppling till gradienten

$$D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f| \cos(\alpha)$$

där $\alpha$ = vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\nabla f$.

Riktning	Riktningsderivata	Tolkning
$\mathbf{u}$ parallell med $\nabla f$	$	\nabla f
$\mathbf{u}$ parallell med $-\nabla f$	$-	\nabla f
$\mathbf{u} \perp \nabla f$	$0$	Längs nivåkurvan — platt!

Normalvektor till nivåkurvor och nivåytor

Eftersom $\nabla f \perp$ nivåkurvorna, kan vi använda gradienten för att:

• Hitta normalvektor till en nivåkurva $f(x,y) = c$: $\nabla f$
• Hitta tangentlinje till nivåkurvan: vinkelrät mot $\nabla f$
• Hitta normalvektor till en nivåyta $g(x,y,z) = c$: $\nabla g$
• Hitta tangentplan till nivåytan: $\nabla g \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$

Exempel

$f(x,y) = 2x^2 + 3y^2$ — nivåkurvan $f = 5$ är en ellips.

I $(1, -1)$: $\nabla f = (4x, 6y) = (4, -6)$

• Normalvektor till ellipsen: $(4, -6)$
• Tangentlinje: $4(x - 1) - 6(y + 1) = 0$, dvs. $4x - 6y = 10$

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 3.14: Gradient av $f(x,y) = y/x$.

Uppgift 3.15: $f = \arctan(y/x)$ — gradient, maximal riktningsderivata, riktningsderivata i given riktning.

Uppgift 3.16: Normalvektor och tangentlinje till ellipsen $2x^2 + 3y^2 = 5$.

Uppgift 3.17: Normalvektor och tangentplan till hyperboloiden $x^2 + 3y^2 - z^2 = 0$.

Tips: Glöm inte att $\mathbf{u}$ måste vara en enhetsvektor — dela med längden om nödvändigt!