Linjär approximation & differentierbarhet

Intuition: Linjär approximation i endimensionellt: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$. I flervariabel: samma idé, men med partiella derivator. Tangentplanet är den linjära approximationen.

Linjäriseringen

Funktionens linjärisering i $(a, b)$:

$$L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$$

Tolkning: $L(x, y)$ approximerar $f(x, y)$ nära $(a, b)$. Ju närmare, desto bättre.

Samma sak som tangentplanet! Grafen till $L$ = tangentplanet till grafen av $f$.

Exempel

$f(x, y) = \ln(3 + 4x + 6y)$ i $(1, -1)$.

$f(1, -1) = \ln(3 + 4 - 6) = \ln 1 = 0$

$f_x = \frac{4}{3 + 4x + 6y} \Rightarrow f_x(1,-1) = 4$

$f_y = \frac{6}{3 + 4x + 6y} \Rightarrow f_y(1,-1) = 6$

$$L(x,y) = 0 + 4(x - 1) + 6(y + 1) = 4x + 6y + 2$$

Närmevärde: $f(1.1, -0.9) \approx L(1.1, -0.9) = 4(0.1) + 6(0.1) = 1.0$

I högre dimensioner

För $f(x, y, z)$ i $(a, b, c)$:

$$L(x,y,z) = f(a,b,c) + f_x(x-a) + f_y(y-b) + f_z(z-c)$$

Generellt: $f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{a}) + J_f(\mathbf{a})(\mathbf{x} - \mathbf{a})$

Differentierbarhet

Frågan: När fungerar linjär approximation? Svar: när $f$ är differentierbar.

$f$ är differentierbar i $(a, b)$ om:

$$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(a+h, b+k) - f(a,b) - f_x(a,b) \cdot h - f_y(a,b) \cdot k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$$

Tolkning: Felet i linjära approximationen går mot 0 snabbare än avståndet till $(a,b)$.

Relationen mellan begreppen

$$\text{Kontinuerliga partiella derivator } (C^1) \;\Rightarrow\; \text{Differentierbar} \;\Rightarrow\; \text{Kontinuerlig}$$

Men inte tvärtom!

• Kontinuerlig $\not\Rightarrow$ differentierbar (konen $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ i origo)
• Partiella derivator existerar $\not\Rightarrow$ kontinuerlig (en funktion kan ha partiella derivator men ändå vara diskontinuerlig!)

$C^1$-funktioner

$f$ kallas $C^1$ om $f$ har kontinuerliga partiella derivator. Det är det starkaste villkoret och det lättaste att kontrollera.

Tumregel: Alla "normala" funktioner (polynom, exp, ln, trig, etc.) är $C^1$ på sin definitionsmängd. Problem uppstår bara vid styckvis definierade funktioner.

Sant eller falskt? (Klassiska tentafrågor)

Påstående	Svar
Kontinuerlig $\Rightarrow$ differentierbar	Falskt
Differentierbar $\Rightarrow$ kontinuerlig	Sant
Partiella derivator existerar $\Rightarrow$ kontinuerlig	Falskt
$C^1$ $\Rightarrow$ differentierbar och kontinuerlig	Sant
Kontinuerlig $\Rightarrow$ $C^1$	Falskt

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 2.9–2.10: Använd linjär approximation för att beräkna närmevärden.

Uppgift 2.11: Avgör om funktioner är differentierbara — kontrollera om partialderivator är kontinuerliga.

Uppgift 2.12: Sant/falskt om sambanden mellan $C^1$, differentierbar och kontinuerlig.