LinjäriseringAvsnitt 3 av 6

Kedjeregeln

Intuition: Kedjeregeln i endimensionellt: om $y$ beror på $x$ och $x$ beror på $t$ , hur ändras $y$ med $t$ ? Svaret: $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ . I flervariabel har vi fler "kedjor" — varje variabel kan bero på flera andra.

Kedjeregeln: en variabel ( $t$ ) in

Om $f(x, y)$ där $x = x(t)$ och $y = y(t)$ :

\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

Så tänker du

Funktionen $f$ ändras via två kanaler: genom $x$ och genom $y$ . Totala ändringen = summan av ändringarna genom varje kanal.

Rita ett "beroendeträd":

Varje väg ner till $t$ = en term. Multiplicera derivatorna längs vägen, summera alla vägar.

Exempel

$f(x,y) = x^2 + y^2$ , $x = \cos t$ , $y = \sin t$

\frac{df}{dt} = 2x \cdot (-\sin t) + 2y \cdot \cos t = -2\cos t \sin t + 2\sin t \cos t = 0

Svar: 0! Det stämmer — vi rör oss längs enhetscirkeln, och $x^2 + y^2 = 1$ är konstant.

Kedjeregeln: flera variabler in

Om $f(x, y)$ där $x = x(s, t)$ och $y = y(s, t)$ :

\frac{\partial f}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}

\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}

Samma princip: rita beroendeträdet, summera alla vägar.

Kedjeregeln som matrisprodukt

Det snygga: kedjeregeln är bara matris-multiplikation av Jacobimatriser:

J(f \circ \mathbf{F}) = J(f) \cdot J(\mathbf{F})

Det generella mönstret fungerar oavsett dimension!

Vanligt misstag

Glöm inte att uttrycka svaret i rätt variabler! Om du deriverar med avseende på $t$ , ska svaret vara i termer av $t$ (inte $x$ och $y$ ).

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.5: $f(x,y)$ på enhetscirkeln: $x = \cos t$ , $y = \sin t$ — derivera den sammansatta funktionen.

Uppgift 1.6: Variabelbyte $x = 2u + 3v$ , $y = u - v$ — uttryck partialderivator i nya koordinater.

Uppgift 1.7: $z(x,y) = f(x^2 + xy + y^2)$ — beräkna $z''_{xx}(1,1)$ . Kräver kedjeregeln två gånger.

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Chain Rule (Multivariable)

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 1.5
Uppgift 1.5. Om vi vill studera hur funktionen $f = f(x,y)$ beter sig på enhetscirkeln kan vi sätta $x = \cos t$ och $y = \sin t$ . Gör det och beräkna derivatan med avseende på $t$ av den sammansatta funktionen $f(x(t),y(t))$ . Svaret kommer förstås att innehålla de partiella derivatorna $f_{x}$ och $f_{y}$ .

1.5. $\frac{\partial f}{\partial x} (-\sin t) + \frac{\partial f}{\partial y}\cos t$
Uppgift 1.6
Uppgift 1.6. Betrakta funktionen $f = f(x,y)$ . Om vi gör variabelbytet $x = 2u + 3v$ och $y = u - v$ , så kan vi uttrycka de partiella derivatorna

$\frac {\partial}{\partial u} f (x (u, v), y (u, v)) \quad \mathrm {och} \quad \frac {\partial}{\partial v} f (x (u, v), y (u, v))$

i termer av $\partial f / \partial x$ och $\partial f / \partial y$ . Gör det!

1.6. $2\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}$ respektive $3\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}$
Uppgift 1.7
Uppgift 1.7. Beräkna $z_{xx}^{\prime \prime}(1,1)$ om $z(x,y) = f(x^{2} + xy + y^{2})$ där $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ är en två gånger derivbar funktion med $f^{\prime}(3) = 1$ och $f^{\prime \prime}(3) = 2$ .

1.7. 20

LinjäriseringAvsnitt 3 av 6

Kedjeregeln

Intuition: Kedjeregeln i endimensionellt: om $y$ beror på $x$ och $x$ beror på $t$ , hur ändras $y$ med $t$ ? Svaret: $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ . I flervariabel har vi fler "kedjor" — varje variabel kan bero på flera andra.

Kedjeregeln: en variabel ( $t$ ) in

Om $f(x, y)$ där $x = x(t)$ och $y = y(t)$ :

\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

Så tänker du

Funktionen $f$ ändras via två kanaler: genom $x$ och genom $y$ . Totala ändringen = summan av ändringarna genom varje kanal.

Rita ett "beroendeträd":

Varje väg ner till $t$ = en term. Multiplicera derivatorna längs vägen, summera alla vägar.

Exempel

$f(x,y) = x^2 + y^2$ , $x = \cos t$ , $y = \sin t$

\frac{df}{dt} = 2x \cdot (-\sin t) + 2y \cdot \cos t = -2\cos t \sin t + 2\sin t \cos t = 0

Svar: 0! Det stämmer — vi rör oss längs enhetscirkeln, och $x^2 + y^2 = 1$ är konstant.

Kedjeregeln: flera variabler in

Om $f(x, y)$ där $x = x(s, t)$ och $y = y(s, t)$ :

\frac{\partial f}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}

\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}

Samma princip: rita beroendeträdet, summera alla vägar.

Kedjeregeln som matrisprodukt

Det snygga: kedjeregeln är bara matris-multiplikation av Jacobimatriser:

J(f \circ \mathbf{F}) = J(f) \cdot J(\mathbf{F})

Det generella mönstret fungerar oavsett dimension!

Vanligt misstag

Glöm inte att uttrycka svaret i rätt variabler! Om du deriverar med avseende på $t$ , ska svaret vara i termer av $t$ (inte $x$ och $y$ ).

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.5: $f(x,y)$ på enhetscirkeln: $x = \cos t$ , $y = \sin t$ — derivera den sammansatta funktionen.

Uppgift 1.6: Variabelbyte $x = 2u + 3v$ , $y = u - v$ — uttryck partialderivator i nya koordinater.

Uppgift 1.7: $z(x,y) = f(x^2 + xy + y^2)$ — beräkna $z''_{xx}(1,1)$ . Kräver kedjeregeln två gånger.

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Chain Rule (Multivariable)

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 1.5
Uppgift 1.5. Om vi vill studera hur funktionen $f = f(x,y)$ beter sig på enhetscirkeln kan vi sätta $x = \cos t$ och $y = \sin t$ . Gör det och beräkna derivatan med avseende på $t$ av den sammansatta funktionen $f(x(t),y(t))$ . Svaret kommer förstås att innehålla de partiella derivatorna $f_{x}$ och $f_{y}$ .

1.5. $\frac{\partial f}{\partial x} (-\sin t) + \frac{\partial f}{\partial y}\cos t$
Uppgift 1.6
Uppgift 1.6. Betrakta funktionen $f = f(x,y)$ . Om vi gör variabelbytet $x = 2u + 3v$ och $y = u - v$ , så kan vi uttrycka de partiella derivatorna

$\frac {\partial}{\partial u} f (x (u, v), y (u, v)) \quad \mathrm {och} \quad \frac {\partial}{\partial v} f (x (u, v), y (u, v))$

i termer av $\partial f / \partial x$ och $\partial f / \partial y$ . Gör det!

1.6. $2\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}$ respektive $3\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}$
Uppgift 1.7
Uppgift 1.7. Beräkna $z_{xx}^{\prime \prime}(1,1)$ om $z(x,y) = f(x^{2} + xy + y^{2})$ där $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ är en två gånger derivbar funktion med $f^{\prime}(3) = 1$ och $f^{\prime \prime}(3) = 2$ .

1.7. 20

Kedjeregeln

Kedjeregeln: en variabel (ttt) in

Så tänker du

Exempel

Kedjeregeln: flera variabler in

Kedjeregeln som matrisprodukt

Vanligt misstag

Nyckelövningar från seminariet

Seminarieövningar

Kedjeregeln

Kedjeregeln: en variabel (ttt) in

Så tänker du

Exempel

Kedjeregeln: flera variabler in

Kedjeregeln som matrisprodukt

Vanligt misstag

Nyckelövningar från seminariet

Seminarieövningar

Kedjeregeln: en variabel ( $t$ ) in

Kedjeregeln: en variabel ( $t$ ) in