LinjäriseringAvsnitt 2 av 6

Tangentplan

Intuition: En tangentlinje i endimensionellt rör vid kurvan i en punkt och följer dess lutning. Ett tangentplan i flervariabel gör samma sak fast i 3D — det är det platta plan som bäst "nuddar" ytan i en punkt.

Tangentplan till funktionsytor

Ytan $z = f(x, y)$ har tangentplan i punkten $(a, b, f(a, b))$ :

z = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)

Så tänker du

$f(a, b)$ = funktionsvärdet i punkten (höjden)
$f_x(a, b)$ = lutningen i $x$ -led
$f_y(a, b)$ = lutningen i $y$ -led

Planet lutar alltså som funktionen gör i punkten.

Normalvektor

Normalvektorn (vinkelrät mot tangentplanet) är:

\mathbf{n} = (-f_x(a,b), \, -f_y(a,b), \, 1)

Eller: skriv om till $f_x(x-a) + f_y(y-b) - (z - f(a,b)) = 0$ och läs av koefficienterna.

Exempel

$f(x,y) = x^2 + y^2$ (paraboloid). I punkten $(1, 2, 5)$ :

$f_x = 2x = 2$ , $f_y = 2y = 4$

z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) = 2x + 4y - 5

Tangentplan till nivåytor

En yta kan också beskrivas som en nivåyta $g(x, y, z) = c$ . Då är gradienten $\nabla g$ normalvektor till ytan.

Tangentplanet i $(a, b, c_0)$ :

g_x(a,b,c_0)(x - a) + g_y(a,b,c_0)(y - b) + g_z(a,b,c_0)(z - c_0) = 0

Exempel

Ellipsoiden $x^2 + y^2 + 3z^2 = 8$ . Sätt $g(x,y,z) = x^2 + y^2 + 3z^2$ .

$\nabla g = (2x, 2y, 6z)$

I punkten $(2, 1, 1)$ : $\nabla g(2,1,1) = (4, 2, 6)$

Tangentplan: $4(x-2) + 2(y-1) + 6(z-1) = 0$ , dvs. $4x + 2y + 6z = 16$ .

Två metoder — samma svar

En yta $z = f(x,y)$ kan alltid ses som nivåytan $g(x,y,z) = f(x,y) - z = 0$ .

Metod	Formel	Normalvektor
Funktionsyta $z = f(x,y)$	$z = f(a,b) + f_x(x-a) + f_y(y-b)$	$(-f_x, -f_y, 1)$
Nivåyta $g = 0$	$\nabla g \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$	$\nabla g = (f_x, f_y, -1)$

De ger samma plan (normalvektorerna är parallella — den ena är $-1$ gånger den andra).

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.2: Tangentplan till $z = \ln(3 + 4x + 6y)$ i $(1, -1, 0)$ — och använd det för linjär approximation!

Uppgift 1.3: Tangentplan till $z = 1/\sqrt{1 + x^2 + y^2}$ i $(2, 2, 1/3)$ .

Uppgift 1.4: Hitta den punkt på $z = x^2 + y^2$ där tangentplanet är parallellt med $x + 2y + z = 0$ .

Uppgift 3.17–3.18: Jämför metoderna funktionsyta vs nivåyta — de ska ge samma svar!

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Tangent Planes

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 1.2
Uppgift 1.2. Låt $f(x, y) = \ln(3 + 4x + 6y)$ .
a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan $z = f(x, y)$ i punkten $(1, -1, 0)$ .
b) Använd tangetplanet (linjär approximation) för att hitta ett närmevärde till $f(1.1, -0.9)$ .

1.2.
a) $z = 4(x - 1) + 6(y + 1)$ eller, om man hellre vill, $4x + 6y - z + 2 = 0$ .
b) 1
Uppgift 1.3
Uppgift 1.3. Bestäm en ekvation för tangentplanet till ytan $z = 1 / \sqrt{1 + x^2 + y^2}$ i punkten $(2, 2, \frac{1}{3})$ .

1.3. $2x + 2y + 27z = 17$
Uppgift 1.4
Uppgift 1.4. Bestäm tangentplanet till funktionsytan $z = x^{2} + y^{2}$ i den punkt där tangentplanet är parallellt med planet $x + 2y + z = 0$ .

1.4. $x + 2y + z + \frac{5}{4} = 0$
Uppgift 3.17
Uppgift 3.17. Betrakta funktionen $g(x,y,z) = x^{2} + 3y^{2} - z^{2}$ .
a) Bestäm en normalvektor till nivåytan $g(x,y,z) = 0$ i punkten $(1, -1, 2)$ .
b) Bestäm en ekvation för tangentplanet till hyperboloiden $g(x,y,z) = 0$ i punkten $(1, -1, 2)$ .

3.17. a) Normal $(2, -6, -4)$
b) tangentplan $2x - 6y - 4z = 0$ .
Uppgift 3.18
Uppgift 3.18. Betrakta ytan $z = 3x^{2} + 2y^{2}$ .
a) Finn en funktion $f$ så att ytan är funktionsytan $z = f(x,y)$ .
b) Finn en funktion $g$ så att ytan är nivåytan $g(x,y,z) = 0$ .
c) Vilka är de naturliga metoderna att ta fram tangentplanet till ytan i punkten $(1,2,11)$ kopplade till de två sätten att beskriva ytan i uppgifterna a)–b)? Ger de samma svar?

3.18.
a) $f(x,y) = 3x^{2} + 2y^{2}$
b) T.ex. $g(x,y,z) = z - 3x^{2} - 2y^{2}$
c) Funktionsyta: se kap 13.3, använd formeln i den färgade rutan strax före exempel 6. Nivåyta: se kap 13.7 exempel 7.

LinjäriseringAvsnitt 2 av 6

Tangentplan

Intuition: En tangentlinje i endimensionellt rör vid kurvan i en punkt och följer dess lutning. Ett tangentplan i flervariabel gör samma sak fast i 3D — det är det platta plan som bäst "nuddar" ytan i en punkt.

Tangentplan till funktionsytor

Ytan $z = f(x, y)$ har tangentplan i punkten $(a, b, f(a, b))$ :

z = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)

Så tänker du

$f(a, b)$ = funktionsvärdet i punkten (höjden)
$f_x(a, b)$ = lutningen i $x$ -led
$f_y(a, b)$ = lutningen i $y$ -led

Planet lutar alltså som funktionen gör i punkten.

Normalvektor

Normalvektorn (vinkelrät mot tangentplanet) är:

\mathbf{n} = (-f_x(a,b), \, -f_y(a,b), \, 1)

Eller: skriv om till $f_x(x-a) + f_y(y-b) - (z - f(a,b)) = 0$ och läs av koefficienterna.

Exempel

$f(x,y) = x^2 + y^2$ (paraboloid). I punkten $(1, 2, 5)$ :

$f_x = 2x = 2$ , $f_y = 2y = 4$

z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) = 2x + 4y - 5

Tangentplan till nivåytor

En yta kan också beskrivas som en nivåyta $g(x, y, z) = c$ . Då är gradienten $\nabla g$ normalvektor till ytan.

Tangentplanet i $(a, b, c_0)$ :

g_x(a,b,c_0)(x - a) + g_y(a,b,c_0)(y - b) + g_z(a,b,c_0)(z - c_0) = 0

Exempel

Ellipsoiden $x^2 + y^2 + 3z^2 = 8$ . Sätt $g(x,y,z) = x^2 + y^2 + 3z^2$ .

$\nabla g = (2x, 2y, 6z)$

I punkten $(2, 1, 1)$ : $\nabla g(2,1,1) = (4, 2, 6)$

Tangentplan: $4(x-2) + 2(y-1) + 6(z-1) = 0$ , dvs. $4x + 2y + 6z = 16$ .

Två metoder — samma svar

En yta $z = f(x,y)$ kan alltid ses som nivåytan $g(x,y,z) = f(x,y) - z = 0$ .

Metod	Formel	Normalvektor
Funktionsyta $z = f(x,y)$	$z = f(a,b) + f_x(x-a) + f_y(y-b)$	$(-f_x, -f_y, 1)$
Nivåyta $g = 0$	$\nabla g \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$	$\nabla g = (f_x, f_y, -1)$

De ger samma plan (normalvektorerna är parallella — den ena är $-1$ gånger den andra).

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.2: Tangentplan till $z = \ln(3 + 4x + 6y)$ i $(1, -1, 0)$ — och använd det för linjär approximation!

Uppgift 1.3: Tangentplan till $z = 1/\sqrt{1 + x^2 + y^2}$ i $(2, 2, 1/3)$ .

Uppgift 1.4: Hitta den punkt på $z = x^2 + y^2$ där tangentplanet är parallellt med $x + 2y + z = 0$ .

Uppgift 3.17–3.18: Jämför metoderna funktionsyta vs nivåyta — de ska ge samma svar!

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Tangent Planes

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 1.2
Uppgift 1.2. Låt $f(x, y) = \ln(3 + 4x + 6y)$ .
a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan $z = f(x, y)$ i punkten $(1, -1, 0)$ .
b) Använd tangetplanet (linjär approximation) för att hitta ett närmevärde till $f(1.1, -0.9)$ .

1.2.
a) $z = 4(x - 1) + 6(y + 1)$ eller, om man hellre vill, $4x + 6y - z + 2 = 0$ .
b) 1
Uppgift 1.3
Uppgift 1.3. Bestäm en ekvation för tangentplanet till ytan $z = 1 / \sqrt{1 + x^2 + y^2}$ i punkten $(2, 2, \frac{1}{3})$ .

1.3. $2x + 2y + 27z = 17$
Uppgift 1.4
Uppgift 1.4. Bestäm tangentplanet till funktionsytan $z = x^{2} + y^{2}$ i den punkt där tangentplanet är parallellt med planet $x + 2y + z = 0$ .

1.4. $x + 2y + z + \frac{5}{4} = 0$
Uppgift 3.17
Uppgift 3.17. Betrakta funktionen $g(x,y,z) = x^{2} + 3y^{2} - z^{2}$ .
a) Bestäm en normalvektor till nivåytan $g(x,y,z) = 0$ i punkten $(1, -1, 2)$ .
b) Bestäm en ekvation för tangentplanet till hyperboloiden $g(x,y,z) = 0$ i punkten $(1, -1, 2)$ .

3.17. a) Normal $(2, -6, -4)$
b) tangentplan $2x - 6y - 4z = 0$ .
Uppgift 3.18
Uppgift 3.18. Betrakta ytan $z = 3x^{2} + 2y^{2}$ .
a) Finn en funktion $f$ så att ytan är funktionsytan $z = f(x,y)$ .
b) Finn en funktion $g$ så att ytan är nivåytan $g(x,y,z) = 0$ .
c) Vilka är de naturliga metoderna att ta fram tangentplanet till ytan i punkten $(1,2,11)$ kopplade till de två sätten att beskriva ytan i uppgifterna a)–b)? Ger de samma svar?

3.18.
a) $f(x,y) = 3x^{2} + 2y^{2}$
b) T.ex. $g(x,y,z) = z - 3x^{2} - 2y^{2}$
c) Funktionsyta: se kap 13.3, använd formeln i den färgade rutan strax före exempel 6. Nivåyta: se kap 13.7 exempel 7.