LinjäriseringAvsnitt 1 av 6

Partiella derivator

Intuition: En partiell derivata svarar på "vad händer med funktionens värde om jag ändrar bara en variabel i taget?" — det är som att gå åt öst och mäta lutningen, sedan gå åt norr och mäta lutningen. En sak åt gången.

Definitionen

Låt $f(x, y)$ vara en funktion av två variabler. De partiella derivatorna definieras som:

\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t, \, y) - f(x, y)}{t}

\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x, \, y + t) - f(x, y)}{t}

Kort sagt: $\frac{\partial f}{\partial x}$ = derivera $f$ med avseende på $x$ , behandla $y$ som konstant. Och tvärtom.

Notationer

Samma sak skrivs på många sätt:

\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = f_1 = f'_x = D_x f

Så beräknar du

Steg 1: Bestäm vilken variabel du deriverar med avseende på.

Steg 2: Behandla ALLA andra variabler som konstanter.

Steg 3: Derivera som vanligt (endimensionellt).

Exempel

$f(x, y) = x^2 y \sin(y)$

$f_x = 2xy\sin(y)$ — bara $x$ varierar, $y\sin(y)$ är en "konstant"
$f_y = x^2 \sin(y) + x^2 y \cos(y)$ — nu varierar $y$ , och $x^2$ är "konstant"; produktregeln på $y\sin(y)$

Högre ordningens derivator

Vi kan derivera igen:

f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

Viktigt: $f_{xy}$ betyder: först derivera med avseende på $x$ , sedan med avseende på $y$ .

Blandade derivator är lika!

Om de partiella derivatorna är kontinuerliga (vilket de nästan alltid är i denna kurs):

f_{xy} = f_{yx}

Detta kallas Schwarz sats (eller Clairauts sats). Det spelar alltså ingen roll i vilken ordning du deriverar!

Kritiska punkter

En punkt $(a, b)$ är en kritisk punkt om:

f_x(a, b) = 0 \quad \text{och} \quad f_y(a, b) = 0

Det är punkter där ytan är "platt" — potentiella max, min eller sadelpunkter (mer om det i Modul 4).

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.1: $f(x,y) = e^{x^2 + y^2}$ — beräkna alla partiella derivator upp till andra ordningen. Hitta kritiska punkter.

Uppgift 1.7: Kedjeregeln i aktion: $z(x,y) = f(x^2 + xy + y^2)$ — beräkna $z''_{xx}(1,1)$ givet information om $f'$ och $f''$ .

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Partial Derivatives

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 1.1
Uppgift 1.1. Låt $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$ .
a) Beräkna de partiella derivatorna $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$
b) Har $f$ några kritiska punkter, dvs punkter där alla första ordningens partiella derivator är 0? Vilka i så fall?

1.1.
a) $f_{x}^{\prime} = 2xe^{x^{2} + y^{2}}$ , $f_{y}^{\prime} = 2ye^{x^{2} + y^{2}}$ , $f_{xx}^{\prime \prime} = (2 + 4x^{2})e^{x^{2} + y^{2}}$ , $f_{xy}^{\prime \prime} = f_{yx} = 4xye^{x^{2} + y^{2}}$ , $f_{yy}^{\prime \prime} = (2 + 4y^{2})e^{x^{2} + y^{2}}$ .
b) Enda kritiska punkten är $(0,0)$ .
Uppgift 1.7
Uppgift 1.7. Beräkna $z_{xx}^{\prime \prime}(1,1)$ om $z(x,y) = f(x^{2} + xy + y^{2})$ där $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ är en två gånger derivbar funktion med $f^{\prime}(3) = 1$ och $f^{\prime \prime}(3) = 2$ .

1.7. 20