Gränsvärden & kontinuitet i flera variabler

Intuition: I en variabel kan du närma dig en punkt från vänster eller höger — två vägar. I flera variabler kan du närma dig från alla riktningar — oändligt många vägar. Om svaret beror på vilken väg du tar, existerar inte gränsvärdet.

Gränsvärde i flera variabler

$$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L$$

betyder: oavsett hur $(x,y)$ närmar sig $(a,b)$, blir $f(x,y)$ godtyckligt nära $L$.

Formell definition (epsilon-delta)

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ sådant att $|f(x,y) - L| < \epsilon$ när $0 < |(x,y) - (a,b)| < \delta$.

Visa att gränsvärdet INTE existerar

Metod: Hitta två vägar till $(a,b)$ som ger olika gränsvärden.

Klassiskt exempel

$$f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \quad (x,y) \to (0,0)$$

• Längs $y = 0$: $f(x, 0) = \frac{0}{x^2} = 0 \to 0$
• Längs $y = x$: $f(x, x) = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} \to \frac{1}{2}$

Olika svar → gränsvärdet existerar inte!

Vanliga vägar att testa: $y = 0$, $x = 0$, $y = x$, $y = x^2$, $y = mx$.

Visa att gränsvärdet EXISTERAR

Metod 1: Polära koordinater

Sätt $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ och låt $r \to 0$. Om uttrycket $\to L$ oavsett $\theta$, existerar gränsvärdet.

Exempel:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3}{x^2 + y^2} = \lim_{r \to 0} \frac{r^3\cos^3\theta}{r^2} = \lim_{r \to 0} r\cos^3\theta = 0$$

Fungerar! $|r\cos^3\theta| \leq r \to 0$ oavsett $\theta$.

Metod 2: Instängningssatsen (Squeeze theorem)

Hitta enkla funktioner som kläm fast $|f(x,y) - L|$ mot 0.

Kontinuitet

$f$ är kontinuerlig i $(a,b)$ om:

$$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b)$$

Tre saker måste stämma: gränsvärdet existerar, $f(a,b)$ existerar, och de är lika.

Tumregel

Alla "vanliga" funktioner är kontinuerliga på sin definitionsmängd: polynom, rationella funktioner (där nämnaren $\neq 0$), exponential, logaritm, trigonometriska funktioner och sammansättningar av dessa.

Problem uppstår bara i luckor i definitionsmängden eller styckvisa funktioner.

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 4.22: Beräkna gränsvärden eller visa att de inte existerar — testa alltid olika vägar först!

Uppgift 4.23–4.24: Bestäm var styckvis definierade funktioner är kontinuerliga.

Strategi:

1. Testa $y = 0$, $x = 0$, $y = x$
2. Om alla ger samma svar → prova polära
3. Om någon ger annorlunda svar → gränsvärdet existerar ej