Funktioner av flera variabler

Intuition: En funktion av en variabel ger en kurva. En funktion av två variabler ger en yta — som ett landskap med berg och dalar. Varje punkt $(x, y)$ har en "höjd" $f(x, y)$.

Definition

En funktion $f: D \to \mathbb{R}$, där $D \subseteq \mathbb{R}^m$, tilldelar varje punkt i $D$ ett reellt tal.

• $D$ = definitionsmängden (alla tillåtna indata)
• $f(D)$ = värdemängden (alla utdata som faktiskt produceras)
• Grafen: mängden $(x_1, \ldots, x_m, f(x_1, \ldots, x_m))$ — lever i $(m+1)$-dimensionellt rum

Exempel: $f(x, y) = x^2 + y^2$ — en paraboloid (skålform). Definitionsmängd: hela $\mathbb{R}^2$. Värdemängd: $[0, \infty)$.

Nivåkurvor

En nivåkurva är mängden av alla punkter där $f$ har samma värde:

$$f(x, y) = c \quad \text{(konstant)}$$

Tänk: höjdkurvor på en karta. Täta linjer = brant. Glesa linjer = plant.

Exempel: $f(x, y) = x^2 + y^2$

Nivåkurvorna $x^2 + y^2 = c$ (för $c > 0$) är cirklar med radie $\sqrt{c}$. Ju större $c$, desto större cirkel.

Exempel: $f(x, y) = x - y$

Nivåkurvorna $x - y = c$ är parallella linjer med lutning 1.

Nivåytor

För funktioner $f(x, y, z)$ av tre variabler blir det nivåytor istället:

$$f(x, y, z) = c$$

Exempel: $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ har nivåytor som är sfärer med radie $\sqrt{c}$.

Bestämma definitionsmängden

Fråga: "För vilka $(x, y)$ kan jag faktiskt beräkna $f(x, y)$?"

Begränsning	Villkor
$\sqrt{\cdot}$	Uttrycket under roten $\geq 0$
$\ln(\cdot)$	Argumentet $> 0$
$1/(\cdot)$	Nämnaren $\neq 0$

Exempel: $f(x, y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ kräver $1 - x^2 - y^2 \geq 0$, dvs. $x^2 + y^2 \leq 1$. Definitionsmängden är slutna enhetsdisken.

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 4.19: Bestäm definitionsmängder — tänk på vilka uttryck som kan bli problem.

Uppgift 4.20–4.21: Rita nivåkurvor och skissa grafer. Börja med specifika $c$-värden ($c = 0, 1, 2, \ldots$) och se mönstret.