Koordinatsystem, topologi & kurvorAvsnitt 5 av 7

Båglängd & linjeintegraler

Intuition: Båglängd svarar på "hur lång är vägen?". Linjeintegralen svarar på "om det finns tyngdkraft/värme/massa längs vägen, vad blir totalen?"

Båglängd

Längden av en kurva $C$ parametriserad av $\mathbf{r}(t)$ , $a \leq t \leq b$ :

L = \int_C ds = \int_a^b |\dot{\mathbf{r}}(t)| \, dt

där $|\dot{\mathbf{r}}(t)| = \sqrt{\dot{x}_1^2 + \dot{x}_2^2 + \cdots + \dot{x}_n^2}$ är farten (längden av hastighetsvektorn).

Så tänker du

Klipp kurvan i massor av pyttesmå raka bitar. Varje liten bit har längd ≈ $|\dot{\mathbf{r}}(t)| \cdot dt$ (fart × tid). Summera alla bitar → integral.

Exempel: Cirkelns omkrets

$\mathbf{r}(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , $0 \leq t \leq 2\pi$

$\dot{\mathbf{r}}(t) = (-R\sin t, R\cos t)$ , $|\dot{\mathbf{r}}(t)| = R$

L = \int_0^{2\pi} R \, dt = 2\pi R \quad \checkmark

Exempel: Cirkulär helix (spiral)

$\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$ , $0 \leq t \leq 2\pi$

$\dot{\mathbf{r}}(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$ , $|\dot{\mathbf{r}}(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2}$

L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2} \, dt = 2\pi\sqrt{2}

Linjeintegral (skalär)

Om vi har en funktion $f$ definierad längs kurvan $C$ :

\int_C f \, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \, |\dot{\mathbf{r}}(t)| \, dt

Tolkning

Tänk dig att kurvan $C$ är en böjd tråd med variabel densitet $f$ (massa per längdenhet). Då ger $\int_C f \, ds$ den totala massan av tråden.

Eller: om $f(x,y)$ är höjden, ger $\int_C f \, ds$ arean av "gardinen" som hänger ner från kurvan.

Skillnad mot kurvintegral genom fält

Linjeintegral ( $\int_C f \, ds$ ): integrerar en funktion (skalär) längs kurvan. Beror inte på riktning.
Kurvintegral genom fält ( $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ ): integrerar ett vektorfält längs kurvan. Beror på riktning (byter tecken om du vänder).

Den sista typen kommer vi till i Modul 3!

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 3.17c: Ställ upp båglängdsintegralen för en given kurva.

Uppgift 3.18d: Beräkna båglängd för en spiral.

Tips: Beräkna alltid $|\dot{\mathbf{r}}(t)|$ först och förenkla innan du integrerar!

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Arc Length, Line Integrals

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 3.17
Uppgift 3.17. En kurva i $\mathbb{R}^3$ parametriseras genom $\mathbf{r}(t) = (t, t^2, 4)$ där $t \in \mathbb{R}$ .

a) Hur vet man att punkten $(2,4,4)$ ligger på kurvan?

b) Bestäm en parameterframställning av tangentligen till kurvan i punkten $(2,4,4)$ .

c) Skriv upp en integral som ger längden av den del av kurvan som ligger mellan punkten $(-2,4,4)$ och $(2,4,4)$ .

3.17. Om man väljer $t = 2$ och sätter in i parametriseringen får man punkten $(2,4,4)$ som alltså ligger på kurvan. En tangentvektor till kurvan i den punkten är $\mathbf{r}'(2) = (1,4,0)$ så tangentlinjen kan parametriseras

$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right), \quad t \in \mathbb{R}.$
Längden av den aktuella delen av kurvan är $\int_{-2}^{2} \sqrt{1 + 4t^2} \, dt$ .
Uppgift 3.18
Uppgift 3.18. Betrakta spiralkurvan $(x,y,z) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t, t)$ där $t \in \mathbb{R}$ .

a) Verifiera att punkten $(1,0,1)$ ligger på kurvan.

b) Bestäm en tangentvektor till kurvan i punkten $(1,0,1)$ .

c) Bestäm en parametrisering av tangentlinjen till kurvan i punkten $(1,0,1)$ .

d) Bestäm längden av den del av spiralkurvan som fås då $0 \leq t \leq 1$ .

3.18.
a) Sätt in $t = 1$ i parametriseringen.
b) Tangentvektor är $(x'(1), y'(1), z'(1)) = (0, 2\pi, 1)$ .
c) Tangentlinjen kan parametriseras

$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2\pi \\ 1 \end{array} \right), \quad t \in \mathbb{R}.$
(Här ovan är parameterformen för linjen skriven som i Algebra och geometri. Ibland skriver vi bara $(x,y,z) = (1,2\pi t,1 + t)$ , då $t \in \mathbb{R}$ , och menar samma sak som ovan. Tänk igenom det här så att du förstår att de båda skrivsätten innehåller samma information!)

d) Längden är $\int_0^1 \sqrt{1 + 4\pi^2} \, dt = \sqrt{1 + 4\pi^2}$ .