Koordinatsystem, topologi & kurvorAvsnitt 4 av 7

Kurvor & parametrisering

Intuition: En parametrisering är som en GPS-rutt: vid varje tidpunkt $t$ vet du exakt var du är. Istället för att beskriva en kurva som en ekvation (t.ex. $x^2 + y^2 = 1$ ), beskriver vi den som en resa — position som funktion av tid.

Vektorvärda funktioner

En vektorvärd funktion tar ett tal $t$ och ger en punkt (vektor):

\mathbf{r}(t) = (x_1(t), x_2(t), \ldots, x_n(t))

Funktionerna $x_1(t), x_2(t), \ldots$ kallas koordinatfunktioner.

Exempel: $\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t)$ för $0 \leq t \leq 2\pi$ — en resa runt enhetscirkeln!

Derivata av vektorvärda funktioner

Derivera komponent för komponent:

\dot{\mathbf{r}}(t) = \left(\frac{dx_1}{dt}, \frac{dx_2}{dt}, \ldots, \frac{dx_n}{dt}\right)

Tolkning: $\dot{\mathbf{r}}(t)$ är hastighetsvektorn — den pekar i den riktning du rör dig, och dess längd är din fart.

Kurvor och parametrisering

En kurva $C$ i $\mathbb{R}^n$ är bilden av en vektorvärd funktion $\mathbf{r}(t)$ , $a \leq t \leq b$ .

Samma kurva kan ha olika parametriseringar! Tänk på det som att köra samma väg men i olika hastigheter.

Slät kurva

Kurvan är slät om $\dot{\mathbf{r}}(t) \neq \mathbf{0}$ för alla $t$ . Det innebär: inga plötsliga stopp eller skarpa vändningar.

Tangentlinje

I punkten $\mathbf{r}(c)$ ges tangentlinjen av:

\ell(s) = \mathbf{r}(c) + s \cdot \dot{\mathbf{r}}(c)

Tolkning: Start vid punkten, gå i hastighetens riktning.

Orientering

Kurvan har en riktning — den ordning vi rör oss längs den. Att byta orientering = åka samma väg baklänges.

\text{Om } C \text{ går från } A \text{ till } B\text{, då går } -C \text{ från } B \text{ till } A

Sluten kurva

En kurva är sluten om $\mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b)$ — start och slut är samma punkt.

Vanliga parametriseringar att kunna

Kurva	Parametrisering
Cirkel, radie $r$	$\mathbf{r}(t) = (r\cos t, r\sin t)$ , $0 \leq t \leq 2\pi$
Linje från $A$ till $B$	$\mathbf{r}(t) = A + t(B - A) = (1-t)A + tB$ , $0 \leq t \leq 1$
Ellips, halvaxlar $a, b$	$\mathbf{r}(t) = (a\cos t, b\sin t)$ , $0 \leq t \leq 2\pi$
Funktionsgraf $y = f(x)$	$\mathbf{r}(t) = (t, f(t))$ , $x_0 \leq t \leq x_1$

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 3.12: Parametrisera skärningen av en cylinder och ett plan — en klassisk tentauppgift!

Uppgift 3.13: Parametrisera enkel cirkel, linjesegment och ellips.

Uppgift 3.14–3.16: Bestäm hastighet, fart och acceleration för partiklar som rör sig längs kurvor.

Uppgift 3.17: Verifiera att en punkt ligger på kurvan, hitta tangentlinjen, och ställ upp båglängdsintegralen.

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Parameterization

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 3.12
Uppgift 3.12. Parametrisera kurvan

$C = \{(x, y, z): x^2 + y^2 = 4 \text{ och } x + z = 0\}.$
3.12. Exempelvis $\mathbf{r}(\theta) = (2\cos \theta, 2\sin \theta, -2\cos \theta)$
Uppgift 3.13
Uppgift 3.13. Parametrisera nedanstående kurvor:

a) Cirkeln $2x^2 + 4x + 2y^2 = 6$ .

b) Linjestycket $y = 3x + 5$ , då $0 \leq x \leq 3$ .

c) Ellipsen $x^2 + 4y^2 = 4$ .

3.13. Till exempel (flera alternativ är möjliga):

a) $x = -1 + 2\cos t$ och $y = 2\sin t$ , där $0 \leq t < 2\pi$ .

b) $x = t$ och $y = 3t + 5$ , där $0 \leq t \leq 3$

c) $x = 2\cos \theta$ och $y = \sin \theta$ , där $0 \leq \theta < 2\pi$

(Ovan är parametriseringarna givna koordinat för koordinat. Det går förstås också bra att uttrycka samma sak med hjälp av en vektorvärda funktion, t.ex. i uppgift a:

$\mathbf{r}(t) = (-1 + 2\cos t, 2\sin t) \mod 0 \leq t < 2\pi.$
Tänk efter så att du förstår båda dessa skrivsätt och att de ger samma information!)
Uppgift 3.14
Uppgift 3.14. En partikel rör sig längs en kurva i $\mathbb{R}^2$ så att den vid tidpunkten $t$ sekunder efter starten befinner sig i punkten $\mathbf{r}(t) = (2\cos\pi t, \sin\pi t)$ . Enheten på axlarna är meter.

a) Vilken typ av kurva rör sig partikeln längs?

b) Bestäm partikelns hastighet, fart och acceleration vid tidpunkten $t = 2$ .

3.14. Ellips. Hastigheten vid $t = 2$ är $\mathbf{r}'(2) = (0, \pi)$ , farten är $\pi$ och accelerationen $\mathbf{r}''(2) = (-2\pi^2, 0)$ .
Uppgift 3.15
Uppgift 3.15. En partikel rör sig i planet längs en ellipskurva så att den vid tidpunkten $t \geq 0$ befinner sig i punkten

$\mathbf{r}(t) = (3\cos 2\pi t, 2\sin 2\pi t).$
a) I vilka punkter på kurvan är farten som störst?

b) Bestäm den största farten.

3.15. Farten är som störst i punkterna $(0, \pm 2)$ och maxfarten är $6\pi$ .
Uppgift 3.16
Uppgift 3.16. En partikel rör sig längs en kurva i $\mathbb{R}^3$ så att den vid tidpunkten $t$ sekunder efter starten befinner sig i punkten $\mathbf{r}(t) = (t, t^2, t^3)$ . Enheten på axlarna är meter. Bestäm partikelns hastighet, fart och acceleration i tidpunkten $t = 1$ .

3.16. Hastighet $(1,2,3)$ . Fart $\sqrt{14}$ m/s. Acceleration $(0,2,6)$ .
Uppgift 3.17
Uppgift 3.17. En kurva i $\mathbb{R}^3$ parametriseras genom $\mathbf{r}(t) = (t, t^2, 4)$ där $t \in \mathbb{R}$ .

a) Hur vet man att punkten $(2,4,4)$ ligger på kurvan?

b) Bestäm en parameterframställning av tangentligen till kurvan i punkten $(2,4,4)$ .

c) Skriv upp en integral som ger längden av den del av kurvan som ligger mellan punkten $(-2,4,4)$ och $(2,4,4)$ .

3.17. Om man väljer $t = 2$ och sätter in i parametriseringen får man punkten $(2,4,4)$ som alltså ligger på kurvan. En tangentvektor till kurvan i den punkten är $\mathbf{r}'(2) = (1,4,0)$ så tangentlinjen kan parametriseras

$\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 4 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right), \quad t \in \mathbb{R}.$
Längden av den aktuella delen av kurvan är $\int_{-2}^{2} \sqrt{1 + 4t^2} \, dt$ .