Koordinatsystem, topologi & kurvorAvsnitt 3 av 7

Öppna, slutna & kompakta mängder

Intuition: Tänk dig en inhägnad. En öppen mängd är som en äng utan staket — du kan aldrig stå precis på gränsen. En sluten mängd är som en äng med staket — gränsen tillhör mängden. En kompakt mängd är sluten och begränsad — en inhägnad äng som inte sträcker sig till oändligheten.

Öppen boll

Grunden för allt: en öppen boll (eller disk i 2D) med centrum $P = (a, b)$ och radie $\epsilon$ :

B_\epsilon(P) = \{(x, y) : |(x, y) - (a, b)| < \epsilon\}

Det är alla punkter som ligger strikt närmare $P$ än $\epsilon$ . Notera $<$ , inte $\leq$ .

Öppna mängder

En mängd $U$ är öppen om det kring varje punkt i $U$ finns en liten boll som helt ryms i $U$ .

Intuitionen: Var du än står i mängden, kan du ta ett litet steg i vilken riktning som helst och fortfarande vara kvar i mängden. Det finns inga "kanter".

Exempel:

$(0, 1)$ är öppen — du kan aldrig stå på 0 eller 1
Öppna disken $x^2 + y^2 < 4$ är öppen
$\{(x,y) : x > 0\}$ (höger halvplan) är öppen

Slutna mängder

En mängd $D$ är sluten om dess komplement (allt utanför) är öppet.

Enklare att tänka: En mängd är sluten om den innehåller alla sina randpunkter.

Exempel:

$[0, 1]$ är sluten — den innehåller ändpunkterna
Slutna disken $x^2 + y^2 \leq 4$ är sluten
Cirkeln $x^2 + y^2 = 4$ är sluten (den är sin egen rand)

Varning: Mängder kan vara:

Varken öppna eller slutna: $[0, 1)$ — har en gräns men inte den andra
Både öppna och slutna: $\mathbb{R}^2$ (hela planet) och $\emptyset$ (tomma mängden)

Kompakta mängder

En mängd är kompakt om den är sluten + begränsad (ryms i en tillräckligt stor boll).

Varför bryr vi oss? Kompakthet ger oss en garanti:

Weierstrass sats: Om $f$ är kontinuerlig på en kompakt mängd $D$ , så antar $f$ sitt maximum och minimum på $D$ .

Det betyder: vi vet att det finns ett största och minsta värde — vi behöver bara hitta dem!

Exempel:

Sluten disk $x^2 + y^2 \leq 4$ — kompakt ✓ (sluten + begränsad)
Öppen disk $x^2 + y^2 < 4$ — ej kompakt ✗ (inte sluten)
Hela $\mathbb{R}^2$ — ej kompakt ✗ (inte begränsad)
Annulus $1 \leq x^2 + y^2 \leq 4$ — kompakt ✓

Randpunkter

En punkt $P$ är en randpunkt till $D$ om varje boll kring $P$ innehåller punkter både i och utanför $D$ .

Randen betecknas $\partial D$ .

Exempel: Randen till disken $x^2 + y^2 \leq 4$ är cirkeln $x^2 + y^2 = 4$ .

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 2.10: Avgör om mängder (definierade av parabelekvationer) är slutna, öppna, kompakta.

Uppgift 2.11: Hitta exempel på mängder som är varken öppna eller slutna, och mängder som är både och.

Strategi: Rita alltid mängden. Fråga dig: "Är randen med? Sträcker den sig till oändligheten?"

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Open Sets, Closed Sets, Compactness, Topology

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 2.10
Uppgift 2.10.

a) Visa att mängden $C_1 = \{(x,y) \mid x^2 = y\}$ är en sluten, men ej en kompakt mängd.

b) Visa att mängden $C_2 = \{(x,y) \mid x^2 = y, y \leq 5\}$ är kompakt.

c) Visa att mängden $C_3 = \{(x,y) \mid x^2 = y, y < 5\}$ ej är kompakt.

d) Bestäm randpunkterna till $C_4 = \{(x,y) \mid x^2 = y, x \neq 0\}$ .

2.10.
a) Låt $P = (a, b)$ vara en punkt ej med i mängden $C_1$ . Välj $\epsilon$ att vara ett positivt tal som är mindre än avståndet från $P$ till $C_1$ . Då vill den öppna bollen $B_{\epsilon}(P)$ inte skära $C_1$ . Med andra ord finns bollen i komplementet till $C_1$ . Detta gäller för alla punkt i komplementet som därmed är en öppen mängd. Följdaktligen är $C_1$ en sluten mängd. Mängden är inte kompakt då kurvan $C_1$ inte får plats i någon låda.

b) Mängden är sluten av samma skäl som uppgiften a), och ryms i lådan där $|x| \leq 5$ och $|y| \leq 5$ .

c) Mängden är begränsad men ej sluten. Punkten $P = (\sqrt{5}, 5)$ är inte med i mängden $C_3$ , men varje boll $B_{\epsilon}(P)$ vill ha en icke-tom skärning med $C_3$ . Komplementet till $C_3$ är därför inte öppen, och då är inte $C_3$ sluten.

d) Randpunkterna är mängden $\{(x, y) \mid x^2 = y\}$ .
Uppgift 2.11
Uppgift 2.11. Hitta exempel som satisfierar följande.

a) En mängd som varken är sluten eller öppen.

b) En mängd som är sluten och öppen.

2.11.
a) Mängden $C_4$ i uppgift 2.10 d), till exempel.

b) Mängden $\mathbb{R}^2$ är uppenbarligen öppen, men också sluten! För att se att $\mathbb{R}^2$ är sluten måste vi visa att komplementet är öppen. Komplementet är tomt, och då blir det inget att kolla.

Koordinatsystem, topologi & kurvorAvsnitt 3 av 7

Öppna, slutna & kompakta mängder

Intuition: Tänk dig en inhägnad. En öppen mängd är som en äng utan staket — du kan aldrig stå precis på gränsen. En sluten mängd är som en äng med staket — gränsen tillhör mängden. En kompakt mängd är sluten och begränsad — en inhägnad äng som inte sträcker sig till oändligheten.

Öppen boll

Grunden för allt: en öppen boll (eller disk i 2D) med centrum $P = (a, b)$ och radie $\epsilon$ :

B_\epsilon(P) = \{(x, y) : |(x, y) - (a, b)| < \epsilon\}

Det är alla punkter som ligger strikt närmare $P$ än $\epsilon$ . Notera $<$ , inte $\leq$ .

Öppna mängder

En mängd $U$ är öppen om det kring varje punkt i $U$ finns en liten boll som helt ryms i $U$ .

Intuitionen: Var du än står i mängden, kan du ta ett litet steg i vilken riktning som helst och fortfarande vara kvar i mängden. Det finns inga "kanter".

Exempel:

$(0, 1)$ är öppen — du kan aldrig stå på 0 eller 1
Öppna disken $x^2 + y^2 < 4$ är öppen
$\{(x,y) : x > 0\}$ (höger halvplan) är öppen

Slutna mängder

En mängd $D$ är sluten om dess komplement (allt utanför) är öppet.

Enklare att tänka: En mängd är sluten om den innehåller alla sina randpunkter.

Exempel:

$[0, 1]$ är sluten — den innehåller ändpunkterna
Slutna disken $x^2 + y^2 \leq 4$ är sluten
Cirkeln $x^2 + y^2 = 4$ är sluten (den är sin egen rand)

Varning: Mängder kan vara:

Varken öppna eller slutna: $[0, 1)$ — har en gräns men inte den andra
Både öppna och slutna: $\mathbb{R}^2$ (hela planet) och $\emptyset$ (tomma mängden)

Kompakta mängder

En mängd är kompakt om den är sluten + begränsad (ryms i en tillräckligt stor boll).

Varför bryr vi oss? Kompakthet ger oss en garanti:

Weierstrass sats: Om $f$ är kontinuerlig på en kompakt mängd $D$ , så antar $f$ sitt maximum och minimum på $D$ .

Det betyder: vi vet att det finns ett största och minsta värde — vi behöver bara hitta dem!

Exempel:

Sluten disk $x^2 + y^2 \leq 4$ — kompakt ✓ (sluten + begränsad)
Öppen disk $x^2 + y^2 < 4$ — ej kompakt ✗ (inte sluten)
Hela $\mathbb{R}^2$ — ej kompakt ✗ (inte begränsad)
Annulus $1 \leq x^2 + y^2 \leq 4$ — kompakt ✓

Randpunkter

En punkt $P$ är en randpunkt till $D$ om varje boll kring $P$ innehåller punkter både i och utanför $D$ .

Randen betecknas $\partial D$ .

Exempel: Randen till disken $x^2 + y^2 \leq 4$ är cirkeln $x^2 + y^2 = 4$ .

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 2.10: Avgör om mängder (definierade av parabelekvationer) är slutna, öppna, kompakta.

Uppgift 2.11: Hitta exempel på mängder som är varken öppna eller slutna, och mängder som är både och.

Strategi: Rita alltid mängden. Fråga dig: "Är randen med? Sträcker den sig till oändligheten?"

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Open Sets, Closed Sets, Compactness, Topology

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 2.10
Uppgift 2.10.

a) Visa att mängden $C_1 = \{(x,y) \mid x^2 = y\}$ är en sluten, men ej en kompakt mängd.

b) Visa att mängden $C_2 = \{(x,y) \mid x^2 = y, y \leq 5\}$ är kompakt.

c) Visa att mängden $C_3 = \{(x,y) \mid x^2 = y, y < 5\}$ ej är kompakt.

d) Bestäm randpunkterna till $C_4 = \{(x,y) \mid x^2 = y, x \neq 0\}$ .

2.10.
a) Låt $P = (a, b)$ vara en punkt ej med i mängden $C_1$ . Välj $\epsilon$ att vara ett positivt tal som är mindre än avståndet från $P$ till $C_1$ . Då vill den öppna bollen $B_{\epsilon}(P)$ inte skära $C_1$ . Med andra ord finns bollen i komplementet till $C_1$ . Detta gäller för alla punkt i komplementet som därmed är en öppen mängd. Följdaktligen är $C_1$ en sluten mängd. Mängden är inte kompakt då kurvan $C_1$ inte får plats i någon låda.

b) Mängden är sluten av samma skäl som uppgiften a), och ryms i lådan där $|x| \leq 5$ och $|y| \leq 5$ .

c) Mängden är begränsad men ej sluten. Punkten $P = (\sqrt{5}, 5)$ är inte med i mängden $C_3$ , men varje boll $B_{\epsilon}(P)$ vill ha en icke-tom skärning med $C_3$ . Komplementet till $C_3$ är därför inte öppen, och då är inte $C_3$ sluten.

d) Randpunkterna är mängden $\{(x, y) \mid x^2 = y\}$ .
Uppgift 2.11
Uppgift 2.11. Hitta exempel som satisfierar följande.

a) En mängd som varken är sluten eller öppen.

b) En mängd som är sluten och öppen.

2.11.
a) Mängden $C_4$ i uppgift 2.10 d), till exempel.

b) Mängden $\mathbb{R}^2$ är uppenbarligen öppen, men också sluten! För att se att $\mathbb{R}^2$ är sluten måste vi visa att komplementet är öppen. Komplementet är tomt, och då blir det inget att kolla.