Koordinatsystem, topologi & kurvorAvsnitt 2 av 7

Cylindriska & sfäriska koordinater

Intuition: Polära koordinater är fantastiska i 2D. I 3D har vi två utbyggnader: cylinderkoordinater (polära + höjd) och sfäriska koordinater (avstånd + två vinklar). Välj rätt system och svåra problem blir enkla.

Cylinderkoordinater $(r, \theta, z)$

Tänk: polära koordinater i $xy$ -planet, plus en höjd $z$ .

x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta), \quad z = z

$r$ = avstånd från $z$ -axeln
$\theta$ = vinkel i $xy$ -planet
$z$ = höjd (precis som vanligt)

Bra för: Cylindrar, rör, allt som är runt kring en axel.

Form	Kartesiskt	Cylindriskt
Cylinder, radie 2	$x^2 + y^2 = 4$	$r = 2$
Kon	$z = \sqrt{x^2 + y^2}$	$z = r$
Halvplan	$x = 0, y > 0$	$\theta = \pi/2$

Sfäriska koordinater $(R, \theta, \varphi)$

Tänk: avstånd från origo + två vinklar.

x = R\sin(\varphi)\cos(\theta), \quad y = R\sin(\varphi)\sin(\theta), \quad z = R\cos(\varphi)

$R$ = avstånd från origo ( $R \geq 0$ )
$\theta$ = vinkel i $xy$ -planet ( $0 \leq \theta < 2\pi$ )
$\varphi$ = vinkel ner från $z$ -axeln ( $0 \leq \varphi \leq \pi$ )

Obs! $\varphi$ mäts från nordpolen ( $z$ -axeln), inte från ekvatorn!

$\varphi = 0$ → nordpolen
$\varphi = \pi/2$ → ekvatorn ( $xy$ -planet)
$\varphi = \pi$ → sydpolen

Bra för: Sfärer, klot, allt som är runt kring en punkt.

Form	Kartesiskt	Sfäriskt
Sfär, radie 3	$x^2 + y^2 + z^2 = 9$	$R = 3$
Övre halvsfär	$x^2 + y^2 + z^2 = 9, z \geq 0$	$R = 3, 0 \leq \varphi \leq \pi/2$
Kon, 45°	$z = \sqrt{x^2 + y^2}$	$\varphi = \pi/4$

Hur väljer jag rätt system?

Symmetri	Använd
Rund kring en axel (cylindrar, rör)	Cylinderkoordinater
Rund kring en punkt (sfärer, klot)	Sfäriska koordinater
Rutor, lådor	Kartesiska koordinater

Visuell träning: Beskriv dessa kroppar i cylindriska koordinater

Försök beskriva varje 3D-kropp med olikheter i $(r, \theta, z)$ :

Cylinderskal
Cylinder med kon borttagen

Tips: Tänk i $(r,z)$ -planet först (en 2D-skiss), sedan rotera runt $z$ -axeln.

Visuell träning: Sfäriska koordinater

Beskriv dessa fjärdedelsklot med radie $a$ i sfäriska koordinater — vilka gränser får $R$ , $\theta$ och $\varphi$ ?

Fjärdedelsklot 1
Fjärdedelsklot 2

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.5–1.6: Beskriv kroppar (cylindrar, koner) i cylinderkoordinater. Rita i $(r,z)$ -planet!

Uppgift 1.7–1.9: Beskriv regioner i sfäriska koordinater. Tänk på vad $\varphi$ och $\theta$ gör: $\varphi$ sveper "uppifrån och ner", $\theta$ sveper "runt".

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Cylindrical Coordinates, Spherical Coordinates

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 1.5
Uppgift 1.5. Beskriv området i cylindriska koordinater. (En ruta = en längdenhet.)

Rakt cirkulärt cylinderskal

Rektangel i $xz$ -planet

Rak cirkulär cylinder med kon borttagen

$\frac{3}{4}$ halvklot

1.5.
a) $r = 3$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ , $0 \leq z \leq 5$
b) $0 \leq r \leq 4$ , $\theta = 0$ , $0 \leq z \leq 6$
c) $3z / h \leq r \leq 3$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ , $0 \leq z \leq h$
Alternativt: $0 \leq r \leq 3$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ , $0 \leq z \leq hr / 3$
d) $r^2 + z^2 \leq 16$ , $z \geq 0$ , $\pi / 2 \leq \theta \leq 2\pi$
Uppgift 1.6
Uppgift 1.6. Rita upp följande områden beskrivna i cylindriska koordinater först i $(r,z)$ -planet och därefter i $xyz$ -rymden.

a) $0 \leq r \leq 3$ , $0 \leq z \leq 4$
b) $z = 2r$ , $z \leq 4$
c) $0 \leq z \leq 5 - r^2 / 3$

1.6. I $(r,z)$ -planet:

I $xyz$ -rymden:
Uppgift 1.7
Uppgift 1.7. Skissera följande områden beskrivna i sfäriska koordinater.

a) $0 \leq r \leq 5, 0 \leq \phi \leq \pi / 6, \pi / 2 \leq \theta \leq 2\pi$
b) $0 \leq r \leq 5, \pi / 18 \leq \phi \leq \pi / 4, 0 \leq \theta \leq \pi / 2$

1.7.
a)
b)
Uppgift 1.8
Uppgift 1.8. Beskriv följande fjärdedelsklot med radie $a$ dels i rektangulära koordinater, dels i rymdpolära koordinater.

1.8. a) Rektangulära koordinater: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}, y \leq 0, z \geq 0$
Rymdpolära koordinater: $0 \leq r \leq a, 0 \leq \phi \leq \pi / 2, \pi \leq \theta \leq 2\pi$

b) Rektangulära koordinater: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}, x \leq 0, z \geq 0$
Rymdpolära koordinater: $0 \leq r \leq a, 0 \leq \phi \leq \pi / 2, \pi / 2 \leq \theta \leq 3\pi / 2$

c) Rektangulära koordinater: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}, x \leq 0, y \geq 0$
Rymdpolära koordinater: $0 \leq r \leq a, 0 \leq \phi \leq \pi, \pi / 2 \leq \theta \leq \pi$

d) Rektangulära koordinater: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}, y \geq 0, z \leq 0$
Rymdpolära koordinater: $0 \leq r \leq a, \pi / 2 \leq \phi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq \pi$
Uppgift 1.9
Uppgift 1.9. Hur beskrivs mängden $K = \{(x,y,z): x^2 + y^2 + z^2 < 9, y > 0 \text{ och } z > 0\}$ i sfäriska koordinater?

1.9. $0 < r < 3, 0 < \phi < \pi /2, 0 < \theta < \pi$

Cylinderkoordinater

(r, \theta, z)

Tänk: polära koordinater i $xy$ -planet, plus en höjd $z$ .

x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta), \quad z = z

r

= avstånd från

z

-axeln

\theta

= vinkel i

xy

-planet

z

= höjd (precis som vanligt)

Bra för: Cylindrar, rör, allt som är runt kring en axel.

Form

Kartesiskt

Cylindriskt

Cylinder, radie 2

x^2 + y^2 = 4

r = 2

Kon

z = \sqrt{x^2 + y^2}

z = r

Halvplan

x = 0, y > 0

\theta = \pi/2

Sfäriska koordinater

(R, \theta, \varphi)

Tänk: avstånd från origo + två vinklar.

x = R\sin(\varphi)\cos(\theta), \quad y = R\sin(\varphi)\sin(\theta), \quad z = R\cos(\varphi)

R

= avstånd från origo (

R \geq 0

)

\theta

= vinkel i

xy

-planet (

0 \leq \theta < 2\pi

)

\varphi

= vinkel ner från

z

-axeln (

0 \leq \varphi \leq \pi

)

Obs!

\varphi

mäts från nordpolen (

z

-axeln), inte från ekvatorn!

\varphi = 0

→ nordpolen

\varphi = \pi/2

→ ekvatorn (

xy

-planet)

\varphi = \pi

→ sydpolen

Bra för: Sfärer, klot, allt som är runt kring en punkt.

Form

Kartesiskt

Sfäriskt

Sfär, radie 3

x^2 + y^2 + z^2 = 9

R = 3

Övre halvsfär

x^2 + y^2 + z^2 = 9, z \geq 0

R = 3, 0 \leq \varphi \leq \pi/2

Kon, 45°

z = \sqrt{x^2 + y^2}

\varphi = \pi/4

Symmetri

Använd

Rund kring en axel (cylindrar, rör)

Cylinderkoordinater

Rund kring en punkt (sfärer, klot)

Sfäriska koordinater

Rutor, lådor

Kartesiska koordinater

Seminarieövningar

Uppgift 1.5

Uppgift 1.5. Beskriv området i cylindriska koordinater. (En ruta = en längdenhet.)

Rakt cirkulärt cylinderskal

Rektangel i $xz$ -planet

Rak cirkulär cylinder med kon borttagen

$\frac{3}{4}$ halvklot

1.5.
a) $r = 3$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ , $0 \leq z \leq 5$
b) $0 \leq r \leq 4$ , $\theta = 0$ , $0 \leq z \leq 6$
c) $3z / h \leq r \leq 3$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ , $0 \leq z \leq h$
Alternativt: $0 \leq r \leq 3$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ , $0 \leq z \leq hr / 3$
d) $r^2 + z^2 \leq 16$ , $z \geq 0$ , $\pi / 2 \leq \theta \leq 2\pi$

Uppgift 1.6

Uppgift 1.6. Rita upp följande områden beskrivna i cylindriska koordinater först i $(r,z)$ -planet och därefter i $xyz$ -rymden.

a) $0 \leq r \leq 3$ , $0 \leq z \leq 4$
b) $z = 2r$ , $z \leq 4$
c) $0 \leq z \leq 5 - r^2 / 3$

1.6. I $(r,z)$ -planet:

I $xyz$ -rymden:

Uppgift 1.7

Uppgift 1.7. Skissera följande områden beskrivna i sfäriska koordinater.

a) $0 \leq r \leq 5, 0 \leq \phi \leq \pi / 6, \pi / 2 \leq \theta \leq 2\pi$
b) $0 \leq r \leq 5, \pi / 18 \leq \phi \leq \pi / 4, 0 \leq \theta \leq \pi / 2$

1.7.
a)
b)

Uppgift 1.8

Uppgift 1.8. Beskriv följande fjärdedelsklot med radie $a$ dels i rektangulära koordinater, dels i rymdpolära koordinater.

1.8. a) Rektangulära koordinater: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}, y \leq 0, z \geq 0$
Rymdpolära koordinater: $0 \leq r \leq a, 0 \leq \phi \leq \pi / 2, \pi \leq \theta \leq 2\pi$

b) Rektangulära koordinater: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}, x \leq 0, z \geq 0$
Rymdpolära koordinater: $0 \leq r \leq a, 0 \leq \phi \leq \pi / 2, \pi / 2 \leq \theta \leq 3\pi / 2$

c) Rektangulära koordinater: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}, x \leq 0, y \geq 0$
Rymdpolära koordinater: $0 \leq r \leq a, 0 \leq \phi \leq \pi, \pi / 2 \leq \theta \leq \pi$

d) Rektangulära koordinater: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq a^{2}, y \geq 0, z \leq 0$
Rymdpolära koordinater: $0 \leq r \leq a, \pi / 2 \leq \phi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq \pi$

Uppgift 1.9

Uppgift 1.9. Hur beskrivs mängden $K = \{(x,y,z): x^2 + y^2 + z^2 < 9, y > 0 \text{ och } z > 0\}$ i sfäriska koordinater?

1.9. $0 < r < 3, 0 < \phi < \pi /2, 0 < \theta < \pi$

Cylindriska & sfäriska koordinater

Cylinderkoordinater (r,θ,z)(r, \theta, z)(r,θ,z)

Sfäriska koordinater (R,θ,φ)(R, \theta, \varphi)(R,θ,φ)

Hur väljer jag rätt system?

Visuell träning: Beskriv dessa kroppar i cylindriska koordinater

Visuell träning: Sfäriska koordinater

Nyckelövningar från seminariet

Seminarieövningar

Cylindriska & sfäriska koordinater

Cylinderkoordinater (r,θ,z)(r, \theta, z)(r,θ,z)

Sfäriska koordinater (R,θ,φ)(R, \theta, \varphi)(R,θ,φ)

Hur väljer jag rätt system?

Visuell träning: Beskriv dessa kroppar i cylindriska koordinater

Visuell träning: Sfäriska koordinater

Nyckelövningar från seminariet

Seminarieövningar

Cylinderkoordinater $(r, \theta, z)$

Sfäriska koordinater $(R, \theta, \varphi)$

Cylinderkoordinater $(r, \theta, z)$

Sfäriska koordinater $(R, \theta, \varphi)$