Koordinatsystem, topologi & kurvorAvsnitt 1 av 7

Polära koordinater

Intuition: Istället för att beskriva en punkt med "gå 3 steg åt höger och 4 steg upp" (kartesiskt), säger vi "gå 5 steg i riktning 53°" (polärt). Det är som skillnaden mellan att ge en adress och att peka.

Varför bry sig?

Många former i naturen är runda — cirklar, sfärer, spiraler. Att beskriva en cirkel med $x$ och $y$ ger den krångliga ekvationen $x^2 + y^2 = r^2$ . I polära koordinater? Bara $r = \text{konstant}$ . Mycket enklare.

Definitionen

En punkt i planet kan beskrivas av:

$r$ = avstånd från origo (alltid $\geq 0$ )
$\theta$ = vinkel från positiva $x$ -axeln (moturs)

Sambandet med kartesiska koordinater:

x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta)

Omvänt:

r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \text{ (med rätt kvadrant)}

Så tänker du

Vill du beskriva...	Kartesiskt (rörigt)	Polärt (enkelt)
Cirkel med radie 2	$x^2 + y^2 = 4$	$r = 2$
Stråle från origo i 45°	$y = x, \; x \geq 0$	$\theta = \pi/4$
Ringformad region	$1 \leq x^2 + y^2 \leq 4$	$1 \leq r \leq 2$

Typiska regioner

Cirkelskiva: Alla punkter inom avstånd $R$ från origo:

0 \leq r \leq R, \quad 0 \leq \theta < 2\pi

Sektor (tårtbit): En bit av en cirkel:

0 \leq r \leq R, \quad \alpha \leq \theta \leq \beta

Annulus (ring): Mellan två cirklar:

a \leq r \leq b, \quad 0 \leq \theta < 2\pi

Viktigt att komma ihåg

En punkt kan ha flera polära representationer: $(r, \theta)$ och $(r, \theta + 2\pi)$ är samma punkt
Origo är speciellt: $(0, \theta)$ för alla $\theta$ ger samma punkt
Vinkeln $\theta$ mäts i radianer (inte grader)

Visuell träning: Beskriv dessa regioner i polära koordinater

Nyckeln till att bli bra på polär koordinater är att se regioner och översätta dem. Försök beskriva varje region nedan med olikheter i $r$ och $\theta$ :

Region a
Region b
Region c

Tips: Fråga dig: "Vad är det minsta/största $r$ ? Vilka vinklar $\theta$ sveper jag över?"

Och dessa, som kräver att du kombinerar polära och kartesiska beskrivningar:

Region med cirkel och linje
Region med förskjuten cirkel

Nyckelövningar från seminariet

Uppgift 1.1–1.4: Beskriv givna regioner (cirklar, ringar, sektorer) i polära koordinater och vice versa. Rita alltid figuren först!

Öva på tentafrågor inom detta avsnitt

Polar Coordinates

Starta quiz

Seminarieövningar

Uppgift 1.1
Uppgift 1.1. Beskriv nedanstående områden i polära koordinater. (En ruta = en längdenhet.)

1.1.
a) $0 \leq r \leq 3$ , $0 \leq \theta \leq \pi$
b) $0 < \theta < \pi$
c) $1 \leq r \leq 3$ , $\pi/2 \leq \theta \leq \pi$
d) $0 \leq r \leq \sqrt{32}$ , $\theta = \pi/4$
e) $r < 2$ eller $r \geq 3$
f) $\arctan \frac{1}{2} < \theta < \arctan 2$
Uppgift 1.2
Uppgift 1.2. Skissera följande områden uttryckta i polära koordinater.

a) $r \leq 4$

d) $r = 2, 0 \leq \theta \leq \pi$

b) $\pi /4\leq \theta \leq 3\pi /4$

e) $1\leq r\leq 3,\ \theta = \pi /4$

c) $0 \leq r \leq 5, \pi \leq \theta \leq 3\pi /2$

f) $r = 0$

1.2.
Uppgift 1.3
Uppgift 1.3. Beskriv nedanstående områden dels i rektangulära koordinater, dels i polära koordinater.

1.3. a) Rektangulära koordinater: $x^{2} + y^{2} \leq 9$ , $x - y \geq 3$

Polära koordinater: $3\pi / 2 \leq \theta \leq 2\pi$ , $\frac{3}{\cos \theta - \sin \theta} \leq r \leq 3$

b) Rektangulära koordinater: $x^{2} + (y - 2)^{2} \leq 4$

Polära koordinater: $0 \leq \theta \leq \pi$ , $0 \leq r \leq 4 \sin \theta$
Uppgift 1.4
Uppgift 1.4. Hur beskrivs $\Omega = \{(x,y): 1 \leq x^2 + y^2 \leq 3 \text{ och } |x| < y\}$ i polära koordinater.

1.4. $1 \leq r \leq \sqrt{3}$ , $\pi / 4 < \theta < 3\pi / 4$ .