STEG 1.

$n = 1$ ger $\operatorname{VL}(1) = \sum_{k=1}^{1} a_{1} q^{k-1} = a_{1} q^{1-1} = a_{1} q^{0} = a_{1} \cdot 1 = a_{1}$ och $\operatorname{HL}(1) = \frac{a_{1}(q^{1}-1)}{q-1} = \frac{a_{1}(q-1)}{q-1} = a_{1}$

och alltså gäller att påståendet är sant för $n = 1$ .

STEG 2.

Antag att påståendet är sant för något $p \in \mathbb{Z}^+$ . Detta medför att

\begin{aligned} \operatorname{VL}(p + 1) &= \sum_{k=1}^{p+1} a_{1} q^{k-1} = \sum_{k=1}^{p} a_{1} q^{k-1} + a_{1} q^{p+1-1} = \sum_{k=1}^{p} a_{1} q^{k-1} + a_{1} q^{p} \\ &\stackrel{\text{=}}{\text{Enl antagandet}} \frac{a_{1}(q^{p}-1)}{q-1} + a_{1} q^{p} \end{aligned} = \frac{a_{1}(q^{p}-1) + a_{1} q^{p}(q-1)}{q-1} = \frac{a_{1} q^{p} - a_{1} + a_{1} q^{p} q - a_{1} q^{p}}{q-1} = \frac{a_{1} q^{p+1} - a_{1}}{q-1} = \frac{a_{1}(q^{p+1}-1)}{q-1} = \operatorname{HL}(p + 1).

Detta visar att om påståendet är sant för $n = p$ så är det även sant för $n = p + 1$ .

STEG 3.

Steg 1 visar att påståendet är sant för $n = 1$ , och steg 2 visar att det då även är sant för $n = 2$ , $n = 3$ .

o.s.v. och då gäller att $\sum_{k=1}^{n} a_{1} q^{k-1} = \frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$ för alla $n \in \mathbb{Z}^+$ för $q \neq 1$ V.S.V.