Vi bestämmer först en normal till de givna planen. Söker vi en vektor

\begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix}

sådan att

\left\{ \begin{array}{l} \left( \begin{array}{c} A \\ B \\ C \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) = 0 \\ \left( \begin{array}{c} A \\ B \\ C \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A - C = 0 \\ A + B + C = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c} A \\ B \\ C \end{array} \right) = t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.

För ett visst värde på $t$ så kommer denna vektors längd ge det kortaste avståndet. Vi får då

\left| t \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \right| = 2\sqrt{6} \Leftrightarrow t^2 + 4t^2 + t^2 = 24 \Leftrightarrow 6t^2 = 24 \Leftrightarrow t = \pm 2

och alltså har vi två plan som har avståndet $2\sqrt{6}$ till punkten $(2,0,3)$ .

För $t = 2$ får vi en punkt i ena planet ur

\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}

alltså punkten $(4, -4, 5)$ . Planets ekvation på parameterform blir då

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

, $s, t \in \mathbb{R}$ . Alternativt fås med den givna punkten och normalvektorn

\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}

att planets ekvation på normalform ges av $x - 2y + z = 17$ .

För $t = -2$ får vi en punkt i andra planet ur

\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}

alltså punkten $(0, 4, 1)$ . Planets ekvation på parameterform blir då

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

, $s, t \in \mathbb{R}$ . Alternativt fås med den givna punkten och normalvektorn

\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}

att planets ekvation på normalform ges av $x - 2y + z = -7$ .

Svar: Det är två plan som har det givna avståndet till den givna punkten. Planens ekvationer ges av

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, s, t \in \mathbb{R} \text{ och } \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, s, t \in \mathbb{R}, \text{ alternativt } x - 2y + z = 17 \text{ och } x - 2y + z = -7.