Problemet kan lösas med Fourier transform: Ansatsen

\hat {n} (k, t) = \int_ {\mathbb {R}} n (x, t) e ^ {- \mathrm {i} k x} d x

ger

\hat {n} _ {t} (k, t) + (D k ^ {2} + c) \hat {n} (k, t) = 0, \quad \hat {n} (k, 0) = \int_ {\mathbb {R}} n _ {0} e ^ {- (x / x _ {0}) ^ {2}} e ^ {- \mathrm {i} k x} d x.

Detta ger

\hat {n} (k, t) = \hat {n} (k, 0) \mathrm {e} ^ {- D k ^ {2} t - c t}

och

n (x, t) = \int_ {\mathbb {R}} \frac {d k}{2 \pi} \hat {n} (k, t) \mathrm {e} ^ {i k x} = \mathrm {e} ^ {- c t} \int_ {\mathbb {R}} \frac {d k}{2 \pi} \hat {n} (k, 0) \mathrm {e} ^ {i k x} e ^ {- D k ^ {2} t}.

Integralerna kan beräknas: med $y = x / x_0$

\hat {n} (k, 0) = n _ {0} x _ {0} \int_ {\mathbb {R}} e ^ {- y ^ {2}} e ^ {- \mathrm {i} k x _ {0} y} d y = n _ {0} x _ {0} \sqrt {\pi} e ^ {- (k x _ {0}) ^ {2} / 4},

och med $p = k\sqrt{x_0^2 / 4 + Dt}$

\begin{array}{l} n (x, t) = \mathrm {e} ^ {- c t} \int_ {\mathbb {R}} \frac {d k}{2 \pi} n _ {0} x _ {0} \sqrt {\pi} e ^ {- (k x _ {0}) ^ {2} / 4} e ^ {i k x} e ^ {- D k ^ {2} t} = \frac {n _ {0} x _ {0}}{\sqrt {x _ {0} ^ {2} / 4 + D t}} \mathrm {e} ^ {- c t} \sqrt {\pi} \int_ {\mathbb {R}} \frac {d p}{2 \pi} e ^ {- p ^ {2}} e ^ {i p x / \sqrt {x _ {0} ^ {2} / 4 + D t}} \\ = \frac {2 n _ {0} x _ {0}}{\sqrt {x _ {0} ^ {2} + 4 D t}} \sqrt {\pi} \mathrm {e} ^ {- c t} \frac {\sqrt {\pi}}{2 \pi} e ^ {- x ^ {2} / 4 (x _ {0} ^ {2} / 4 + D t)}. \\ \end{array}

Svar:

n (x, t) = \frac {n _ {0} x _ {0}}{\sqrt {x _ {0} ^ {2} + 4 D t}} \mathrm {e} ^ {- c t} e ^ {- x ^ {2} / (x _ {0} ^ {2} + 4 D t)}.