Vi noterar att

\nabla \cdot \vec{v} = \partial_x (x z) + \partial_y (-y z) + \partial_z (y^2) = z - z + 0 = 0

Det gäller därför enligt divergenssatsen att

\int_S \vec{v} \cdot d\vec{S} - \int_S \vec{v} \cdot d\vec{S} = \int_S (\nabla \cdot \vec{v}) \, dV = 0

så länge ytorna S och S' har samma randkurva och volymen R är den volym som innebärs av S och S'.

Detta medför att

\int_S \vec{v} \cdot d\vec{S} = \int_S \vec{v} \cdot d\vec{S}

I vårt specifika fall är ytan S den del av sfären med radie $\pi R$ som ligger ovanför $z = R$ . Denna kan parametriseras med $x$ och $y$ sådana att $x^2 + y^2 < R^2$ samt $z = \sqrt{2R^2 - x^2 - y^2}$ . Utifrån detta kan ytelement och flödesintegral beräknas.

Problemet blir dock enklare om vi i stället väljer vår yta som mantelytan av en cylinder

S_1 = \left\{ (x, y, z) \in R^2 : x^2 + y^2 = R^2, 0 \leq z < R \right\}

samt diskuter

S_2 = \left\{ (x, y, z) \in R^2 : x^2 + y^2 < R^2, z = 0 \right\}, S' = S_1 \cup S_2.

Det gäller då för vår sökta integral:

\int_S \vec{v} \cdot d\vec{S} = \int_{S_1} \vec{v} \cdot d\vec{S} + \int_{S_2} \vec{v} \cdot d\vec{S}.

För ytan S, gäller

d\vec{S} = \frac{x \vec{e}_1 + y \vec{e}_2}{R} R \, d\phi \, dz, \quad \vec{v} \cdot d\vec{S} = z (x^2 - y^2) \, d\phi \, dz

vilket p.g.a. symmetri in mellan $x^2$ - och $y^2$ -ternerna innebär att

\int_{S_1} \bar{v} \cdot d\bar{S} = 0.

För ytan $S_2$ gäller att

d\bar{S} = \bar{e}_3 dx \, dy, \quad \bar{v} \cdot d\bar{S} = y^2 dx \, dy = \rho^2 \sin^2\phi \, \rho \, d\rho \, d\phi

där $0 < \rho < R$ och $0 \leq \phi < 2\pi$ parametriserar disken med radie $R$ i x-y-planet. Det följer att

\int_{S_2} \bar{v} \cdot d\bar{S} = \int_0^R \rho^3 \, d\rho \cdot \int_0^{2\pi} \sin^2\phi \, d\phi = \frac{R^4}{4} \cdot \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi R^4}{4}.

Således erhålls

\int_S \bar{v} \cdot d\bar{S} = \frac{\pi R^4}{4}.