Problemet är rotationssymmetrisk, dvs., vi kan anta $u = u(r,t)$ där $r$ avståndet från membranets medelpunkt.

Problemet lyder

u_{tt}(r, t) - c^2(\Delta u)(r, t) = 0 \quad (0 \leq r < R, t > 0), u(R, t) = 0, \quad |u(0, t)| < \infty \quad (t > 0), \tag{1} u_t(r, 0) = 0, \quad u(r, 0) = A \delta(r - a) \quad (0 \leq r < R)

där $(\Delta u)(r,t) = u_{rr}(r,t) + (1/r)u_r(r,t)$ .

Ansatsen

u(r, t) = \sum_n f_n(r) g_n(t)

ger

f_n''(r) + \frac{1}{r} f_n'(r) + k_n^2 f_n(r), \quad |f_n(0)| < \infty, \quad f_n(R) = 0,

som ger

f_n(r) = J_0(k_n r), \quad k_n = \frac{\alpha_{0,n}}{R}, \quad n = 1, 2, \ldots

där $\alpha_{0,n}$ är nollställarna till Besselfunktionen $J_0(z)$ .

$g_{n}$ -problemet blir

g _ {n} ^ {\prime \prime} (t) + (c k _ {n}) ^ {2} g _ {n} (t) = 0, \quad g _ {n} ^ {\prime} (0) = 0, \quad g _ {n} (0) = \frac {\int_ {0} ^ {R} d r r J _ {0} (k _ {n} r) A \delta (r - a)}{\int_ {0} ^ {R} d r r J _ {0} (k _ {n} r) ^ {2}} = \frac {A a J _ {0} (k _ {n} a)}{(R ^ {2} / 2) J _ {1} (k _ {n} R) ^ {2}},

där vi använde integralen i ledningen och $J_0(k_nR) = 0$ . Detta ger

g _ {n} (t) = g _ {n} (0) \cos (c k _ {n} t).

Svar:

u (r, t) = \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \frac {2 A a J _ {0} (k _ {n} a)}{R ^ {2} J _ {1} (k _ {n} R) ^ {2}} J _ {0} (k _ {n} r) \cos (c k _ {n} t), \quad k _ {n} = \alpha_ {0, n} / R.