Lösningen kan skrivas med hjälp av Greenfunktionen $G = G(x,y,x',y')$ till problemet:

- G _ {x x} - G _ {y y} = \delta (x - x ^ {\prime}) \delta (y - y ^ {\prime}), \quad G (0, y, x ^ {\prime}, y ^ {\prime}) = 0 \quad (y > 0), \quad G (x, 0, x ^ {\prime}, y ^ {\prime}) = 0 \quad (x > 0),

dvs.,

T (x, y) = T _ {0} + A G (x, y, a, a).

Greensfunktionen kan man få med spegling:

G (\mathbf {r}, \mathbf {r} ^ {\prime}) = G _ {0} (\mathbf {r} - \mathbf {r} ^ {\prime}) - G _ {0} (\mathbf {r} - \mathbf {r} _ {1} ^ {\prime}) - G _ {0} (\mathbf {r} - \mathbf {r} _ {2} ^ {\prime}) + G _ {0} (\mathbf {r} - \mathbf {r} _ {3} ^ {\prime}), \quad G _ {0} (\mathbf {r}) = - \frac {1}{2 \pi} \log (| \mathbf {r} | / R)

där $R > 0$ , $\mathbf{r} = (x,y)$ , $\mathbf{r}' = (x',y')$ , $\mathbf{r}_1' = (-x',y')$ , $\mathbf{r}_2' = (x', -y')$ , $\mathbf{r}_3' = (-x', -y')$ .

Detta ger

G (\mathbf {r}, \mathbf {r} ^ {\prime}) = - \frac {1}{2 \pi} \log \sqrt {\frac {[ (x - x ^ {\prime}) ^ {2} + (y - y ^ {\prime}) ^ {2} ] [ (x + x ^ {\prime}) ^ {2} + (y + y ^ {\prime}) ^ {2} ]}{[ (x + x ^ {\prime}) ^ {2} + (y - y ^ {\prime}) ^ {2} ] [ (x - x ^ {\prime}) ^ {2} + (y + y ^ {\prime}) ^ {2} ]}}.

Svar:

T (x, y) = T _ {0} - \frac {A}{2 \pi} \log \sqrt {\frac {[ (x - a) ^ {2} + (y - a) ^ {2} ] [ (x + a) ^ {2} + (y + a) ^ {2} ]}{[ (x + a) ^ {2} + (y - a) ^ {2} ] [ (x - a) ^ {2} + (y + a) ^ {2} ]}}.