x

Klossen släpps från vila och dras uppåt. Vad blir högsta höjden, och vad blir högsta farben?

Endast konservativa krafter verkar ⇒

E = T + V \bar{a} r \text{ konstant}T = \frac{mv^2}{2} V = k \frac{(x - l_0)^2}{2} - mgx \quad V^g = 0 \text{ när } x = 0.

Tre lägen:

I:

II:

III:

I, II är vändlagen, III är lägst med högst fart.

i I gäller:

x = x_0 = H - h, \, v = 0 E_I = T_I + V_I = k \frac{(H - h - l_0)^2}{2} - mg(H - h)

i II gäller:

x = x_{\min}, \, v = 0 E_{\mathrm{II}} = T_{\mathrm{II}} + V_{\mathrm{II}} = \begin{cases} k \frac{(x_{\min} - l_0)^2}{2} - mg x_{\min} & \text{om } x_{\min} \geq l_0 \\ - mg x_{\min} & \text{om } x_{\min} > l_0 \end{cases} \quad \text{o m } x_{\min} > l_0

b:

E_I = E_{\mathrm{II}} \Rightarrow k \frac{(H - h - l_0)^2}{2} - mg(H - h) = - mg x_{\min} x_{\min} = H - h - \frac{k}{2mg}(H - h - l_0)^2

a:

E_I = E_{\mathrm{II}} \Rightarrow k \frac{(H - h - l_0)^2}{2} - mg(H - h) = k \frac{(x_{\min} - l_0)^2}{2} - mg x_{\min} (x_{\min} - l_0)^2 - \frac{2mg}{k} x_{\min} = \underbrace{(H - h - l_0)^2 - \frac{2mg}{k}(H - h)}_{C} x_{\min}^2 + l_0^2 - \left(2l_0 + \frac{2mg}{k}\right) x_{\min} = C x_{\min}^2 - \left(2l_0 + \frac{2mg}{k}\right) x_{\min} + l_0^2 - C = 0 x_{\min} = l_0 + \frac{mg(k)}{k} \sqrt{ \left(l_0 + \frac{mg}{k}\right)^2 + C - l_0^2 }

Högsta höjden $s_{\max} = H - x_{\min}$ blir alltså:

\text{om } H - h - \frac{k}{2mg} (H - h - l_0)^2 > l_0: \frac{s_{\max} = h + \frac{k}{2mg} (H - h - l_0)^2}{} \text{om } H - h - \frac{k}{2mg} (H - h - l_0)^2 \leq l_0: s_{\max} = H - l_0 - \frac{mg}{k} + \sqrt{ (l_0 + \frac{mg}{k})^2 + C - l_0^2 } \text{där } C = (H - h - l_0)^2 - \frac{2mg}{k} (H - h)

läge 3 definieras av att:

F_B^2 = k (x_{\mathrm{III}} - l_0) = mg x_{\mathrm{III}} = \frac{mg}{k} + l_0

Energilagen ger att $E_I = E_{\mathrm{III}} \Rightarrow$

T_I + V_I = T_{\mathrm{III}} + V_{\mathrm{III}} \Rightarrow k \frac{(H - h - l_0)^2}{2} = \frac{m v_{\mathrm{III}}^2}{2} + k \frac{(x_{\mathrm{III}} - l_0)^2}{2} - mg x_{\mathrm{III}} v_{\mathrm{III}} = \sqrt{\frac{k}{m} \left[ (H - h - l_0)^2 - (x_{\mathrm{III}} - l_0)^2 \right] + 2g x_{\mathrm{III}}}