Bestäm $v_0$ : den lätta klassen precis när den tunga klassen:

I:

II:

Fritag lilla klassen från I till II:

f = \mu N \quad N = mg v_I = v_0 \quad v_{II} = 0

Lagen om kinetiska energin ger:

U_{I \rightarrow II} = T_{II} - T_i U_{I - II} = -f_l = -\mu mg l; \quad T_I = \frac{m v_0^2}{2}; \quad T_{II} = 0

Detta ger:

-\mu mg l = -\frac{m v_0^2}{2} \Rightarrow v_0 = \sqrt{2 \mu g l}

Om $v_0 > \sqrt{2\mu gL}$ gäller att $v_{\mathrm{II}} > 0$ och:

T_{\mathrm{II}} = \frac{m v_{\mathrm{II}}}{2}

vilket ger:

-\mu m g L = \frac{m v_{\mathrm{II}}^2}{2} - \frac{m v_0^2}{2} \Rightarrow v_{\mathrm{II}} = 2 \sqrt{\frac{v_0^2}{2} - \mu g L}

Det sker då en stött:

\begin{array}{l} \boxed{\text{förs:}} \\ \quad \overrightarrow{v_{\mathrm{II}}} \quad \overrightarrow{v_{\mathrm{II}}} = 0 \\ \text{efter:} \quad \overleftrightarrow{v_{\mathrm{II}}} \quad \overrightarrow{\overrightarrow{v_{\mathrm{II}}}} \end{array}

Elastisk stött $\Rightarrow \vec{p}$ & $T$ bevaras.

\begin{array}{l} \vec{p} \rightarrow : m v_{\mathrm{II}} = -m v_{\mathrm{II}}' + 2 m v_{\mathrm{II}}'' \Rightarrow v_{\mathrm{II}}' = \frac{v_{\mathrm{II}} + v_{\mathrm{II}}'}{2} \\ T : \frac{m v_{\mathrm{II}}^2}{2} = \frac{m v_{\mathrm{II}}'^2}{2} + \frac{2 m v_{\mathrm{II}}'^2}{2} \end{array}

Detta ger:

\begin{array}{l} v_{\mathrm{II}}^2 = v_{\mathrm{II}}'^2 + \frac{1}{2} (v_{\mathrm{II}} + v_{\mathrm{II}}')^2 = v_{\mathrm{II}}'^2 + \frac{1}{2} (v_{\mathrm{II}}^2 + v_{\mathrm{II}}'^2 + 2 v_{\mathrm{II}} v_{\mathrm{II}}') \\ \frac{3}{2} v_{\mathrm{II}}'^2 + v_{\mathrm{II}} v_{\mathrm{II}}' - \frac{1}{2} v_{\mathrm{II}}^2 = 0 \\ v_{\mathrm{II}}'^2 + \frac{2}{3} v_{\mathrm{II}} v_{\mathrm{II}}' - \frac{1}{3} v_{\mathrm{II}}^2 = 0 \\ v_{\mathrm{II}}' = -\frac{1}{3} v_{\mathrm{II}}' \pm \sqrt{\frac{1}{9} v_{\mathrm{II}}^2 + \frac{1}{3} v_{\mathrm{II}}^2} \\ v_{\mathrm{II}}'' = -\frac{1}{3} v_{\mathrm{II}} \pm \frac{2}{3} v_{\mathrm{II}} \end{array}

Positiva roten är fysikalisk varför:

v_{\parallel} = \frac{1}{3} v_{\parallel} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{v_{\parallel}^2}{2} - \mu g l}

Vi vill nu studera vad som händer från $\mathbb{H}^1$ till $\mathbb{H}^1$ :

\begin{array}{c} \mathbb{H}^1 \\ \downarrow \\ \end{array} \quad \begin{array}{c} m \\ \downarrow \\ \end{array} \quad \begin{array}{c} 2m \\ \downarrow \\ \end{array} \quad \begin{array}{c} V_{\parallel} = 0 \\ \downarrow \\ \end{array} \quad \begin{array}{c} V_{\parallel} = 0 \\ \downarrow \\ \end{array} \quad \begin{array}{c} x \\ \downarrow \\ \end{array}

Lagen om kinetiska energin ger för vardera massan:

U_{\parallel} L_{\parallel} = T_3 - T_2

vilket för lilla massan ger:

-\mu m g s = -\frac{m v_{\parallel}^2}{2} \Rightarrow s = \frac{v_{\parallel}^{2}}{2 \mu g} = \frac{4}{9} \cdot \frac{v_0^2 / 2 - \mu g l}{2 \mu g} = \frac{v_0^2}{9 \mu g} - \frac{2 L}{9} \because \text{stannar den lätta klassen } \bar{v} \quad x = -\left[\frac{v_0^2}{9 \mu g} - \frac{2 L}{9}\right]