(b) För $f_{b}(x)$ som är en udda funktion har vi att $a_{n} = 0$ för alla $n$ , och

\begin{array}{l} b_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f_{b}(x) \sin(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f_{b}(x) \sin(nx) \, dx \\ = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (2 + \cos(2x)) \sin(nx) \, dx = \{\text{formelblad (15)}\} \\ = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left(2 \sin(nx) + \frac{1}{2} \sin((n+2)x) + \frac{1}{2} \sin((n-2)x)\right) dx \\ = \frac{2}{\pi} \left[ -2 \cdot \frac{\cos(nx)}{n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos((n+2)x)}{n+2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos((n-2)x)}{n-2} \right]_{0}^{\pi} \\ = \frac{2}{\pi} \left( -2 \cdot \frac{\cos(n\pi)}{n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos((n+2)\pi)}{n+2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos((n-2)\pi)}{n-2} \right) \\ - \frac{2}{\pi} \left( -2 \cdot \frac{\cos(0)}{n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos(0)}{n+2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos(0)}{n-2} \right) \\ = \frac{2}{\pi} (-1)^{n} \left( -2 \cdot \frac{1}{n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n+2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n-2} \right) \\ - \frac{2}{\pi} \left( -2 \cdot \frac{1}{n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n+2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n-2} \right) \\ = \frac{2}{\pi} (1 - (-1)^{n}) \left( 2 \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n+2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n-2} \right) \\ = \frac{2}{\pi} (1 - (-1)^{n}) \left( \frac{2}{n} + \frac{n}{n^{2} - 4} \right) \end{array}

för $n \geq 1$ och $n \neq 2$ (observera att vi delar med $n - 2$ ). För $n = 2$ har vi

\begin{array}{l} b_{2} = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (2 + \cos(2x)) \sin(2x) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left(2 \sin(2x) + \frac{1}{2} \sin(4x)\right) dx \\ = \frac{2}{\pi} \left[ -\cos(2x) - \frac{1}{8} \cos(4x) \right]_{0}^{\pi} = 0. \end{array}

Fourierkoefficienterna för $f_{b}(x)$ är alltså

b_{n} = \frac{2}{\pi} (1 - (-1)^{n}) \left( \frac{2}{n} + \frac{n}{n^{2} - 4} \right), \quad n \neq 2, \qquad b_{2} = a_{n} = 0.

Funktionen $f_{b}(x)$ är kontinuerlig på intervallen $-\pi < x < 0$ , $0 < x < \pi$ så dess Fourierserie konvergerar mot $f_{b}(x)$ där. I $x = 0$ konvergerar serien mot $\frac{1}{2}(3 + (-3)) = 0$ , och samma gäller vid $x = \pm \pi$ .