Lösningsförslag. Fourierkoefficienterna i Fourierserien

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right)

för $f(x)$ ges av

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \qquad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx.

För funktionen $f(x) = (x + \pi)^2 = x^2 + 2\pi x + \pi^2$ kan vi dela upp beräkningarna term för term.

Termen $x^2$ är en jämn funktion och har alltså $b_n = 0$ . Dess koefficienter $a_n$ ges av

\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx = \{\text{integralformel (96)}\} \\ &= \frac{2}{\pi} \left[ \frac{2x}{n^2} \cos nx + \frac{n^2 x^2 - 2}{n^3} \sin nx \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{2}{\pi} \left( \frac{2\pi}{n^2} \cos n\pi + \frac{n^2\pi^2 - 2}{n^3} \sin n\pi \right) - \frac{2}{\pi} \left( \frac{0}{n^2} \cos 0 + \frac{0 - 2}{n^3} \sin 0 \right) \\ &= \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{n^2} (-1)^n = (-1)^n \frac{4}{n^2} \end{aligned}

för $n > 0$ och

a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi^3}{3} - 0 \right) = \frac{2\pi^2}{3}.

Termen $2\pi x$ är en udda funktion och har alltså $a_n = 0$ . Dess koefficienter $b_n$ ges av

\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 2\pi x \sin(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} 2\pi x \sin(nx) \, dx \\ &= 4 \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = \{\text{integralformel (100)}\} \\ &= 4 \left[ -\frac{x}{n} \cos nx + \frac{1}{n^2} \sin nx \right]_{0}^{\pi} \\ &= 4 \left( -\frac{\pi}{n} \cos n\pi + \frac{1}{n^2} \sin n\pi \right) - 4 \left( -\frac{0}{n} \cos 0 + \frac{1}{n^2} \sin 0 \right) \\ &= -\frac{4\pi}{n} (-1)^n = (-1)^{n+1} \frac{4\pi}{n}. \end{aligned}

Slutligen är termen $\pi^2$ en konstant och alltså lika med sin Fourierserieutveckling med $a_0 = \pi^2$ och alla andra koefficienter lika med noll.

Fourierkoefficienterna för funktionen $f(x) = (x + \pi)^2$ är alltså

a_0 = \frac{2\pi^2}{3} + 2\pi^2 = \frac{8\pi^2}{3}

samt

a_n = (-1)^n \frac{4}{n^2} \quad \text{och} \quad b_n = (-1)^{n+1} \frac{4\pi}{n}

för $n \geq 1$ .

Grafen för Fourierseriens summa är

Speciellt har summan värdet $(\pi/2 + \pi)^2 = 9\pi^2/4$ vid $x = \pi/2$ , värdet $\frac{1}{2}(4\pi^2 + 0) = 2\pi^2$ i hoppunkten $x = \pi$ , samt värdet $(- \pi/2 + \pi)^2 = \pi^2/4$ vid $x = 3\pi/2$ .