Genom att använda cylindriska koordinater med $x$ -axeln som symmetriaxel,

\begin{array}{l} x = x, \\ y = 2 r \cos \theta, \\ z = 2 r \sin \theta, \end{array}

kan ytan $S$ beskrivas som

r = 2, \quad 0 \leq \theta \leq \pi / 2, \quad 0 \leq x \leq 2.

Observera att villkoret $z \geq 0$ är redan inkluderat ovan då $z = 2r\sin \theta$ och att $0 \leq \theta \leq \pi / 2$ .
Detta kan användas för att parametrisera ytan med $x$ och $\theta$ som parametrar,

\boldsymbol{r}(x, \theta) = (x, 2 \cos \theta, 2 \sin \theta)

där parameterområdet är $D: 0 \leq x \leq 2$ , $0 \leq \theta \leq \pi / 2$ . Med hjälp av denna parametrisering kan flödet genom $S$ beräknas som

\iint_{S} \boldsymbol{F} \cdot \hat{n} \, dS = \iint_{D} \boldsymbol{F} \big(\boldsymbol{r}(x, \theta)\big) \cdot \left(\pm \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}\right) dx \, d\theta,

där deluttrycken i högerledets dubbelintegral ges av

\begin{array}{l} \boldsymbol{F} \big(\boldsymbol{r}(x, \theta)\big) = (4 \cos \theta (2 \sin \theta - 1), 2x, 3x^2), \\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} = (1, 0, 0), \\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} = (0, -2 \sin \theta, 2 \cos \theta), \\ \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} = (0, -2 \cos \theta, -2 \sin \theta). \end{array}

För att $\hat{n} \, dS = \left(\pm \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}\right) dx \, d\theta = \pm (0, -2 \cos \theta, -2 \sin \theta) dx \, d\theta$ ska bli utåtpekande, dvs. peka bort från $x$ -axeln, välj minustecknet i $\pm$ ,

\hat{n} \, dS = (0, 2 \cos \theta, 2 \sin \theta) dx \, d\theta.

Flödet genom $S$ blir därmed

\iint_{S} \boldsymbol{F} \cdot \hat{n} \, dS = \iint_{D} \left(4 \cos \theta (2 \sin \theta - 1), 2x, 3x^2\right) \cdot (0, 2 \cos \theta, 2 \sin \theta) dx \, d\theta\begin{array}{l} = 2 \iint_{D} (2x \cos \theta + 3x^{2} \sin \theta) \, dx \, d\theta \\ = 2 \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{\pi/2} (2x \cos \theta + 3x^{2} \sin \theta) \, d\theta \right) dx \\ = 2 \int_{0}^{2} \left[ 2x \sin \theta - 3x^{2} \cos \theta \right]_{0}^{\pi/2} dx \\ = 2 \int_{0}^{2} (2x + 3x^{2}) \, dx = 2 \left[ x^{2} + x^{3} \right]_{0}^{2} = 24. \end{array}