$19\pi$ volymenheter.
Den mängd vatten $V$ som försvunnit från sjön är volymen av det område $K$ som ges av

-1 \leq z \leq 0, \quad z \geq \frac{1}{2}(x^2 + y^2) - 10.

Detta område kan beskrivas som att $z$ varierar mellan $-1$ till $0$ , och för konstant $z$ varierar $x$ och $y$ över tvärsnittet $T(z)$ som ges av

z \geq \frac{1}{2}(x^2 + y^2) - 10 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + y^2 \leq 2z + 20.

Tvärsnittet $T(z)$ kan beskrivas i polära koordinater som

0 \leq r \leq \sqrt{2z + 20}, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi.

Den sökta volymen ges av

V = \iiint_{K} dx\,dy\,dz = \int_{-1}^{0} \left( \iint_{T(z)} dx\,dy \right) dz

där dubbelintegralen i högerledet beräknas i polära koordinater

\begin{aligned} &= \int_{-1}^{0} \left( \iint_{T(z)} r\,dr\,d\theta \right) dz \\ &= \int_{-1}^{0} \left( \int_{0}^{\sqrt{2z + 20}} r\,dr \int_{0}^{2\pi} d\theta \right) dz \\ &= \int_{-1}^{0} \left( \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt{2z + 20}} \cdot 2\pi \right) dz \\ &= \int_{-1}^{0} \left( \frac{1}{2}(2z + 20) \cdot 2\pi \right) dz \\ &= \pi \left[ z^2 + 20z \right]_{-1}^{0} \\ &= 19\pi. \end{aligned}