Lösning. Eftersom densiteten $\rho(y)$ är en funktion av höjden $y$ , måste vi dela upp konen i tunna skivor vinkelrätt mot $y$ -axeln för att kunna beräkna massan.

En skiva på höjd $y$ med tjocklek $dy$ har radien $r = y$ , och dess volym är därför $\pi y^2 dy$ . Massan av en sådan skiva blir därför $\pi y^2 (2 - y) dy = \pi (2y^2 -y^3) dy$ . Summerar man alla sådana massor så får man en Riemannsumma som beräknas med integralen

\int_{0}^{1} \pi (2 y ^ {2} - y ^ {3}) d y = \pi \left[ \frac {2 y ^ {3}}{3} - \frac {y ^ {4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac {5 \pi}{12}.

FIGUR 2. Området som roteras, samt konen som bildas med en skiva markerad.

Kommentar: Vi visar en jättenoggrann i härledningen av Riemannsumman (krävs ej för full poäng). Vi delar upp intervallet $[0,1]$ i $n$ lika stora delar av längd $\Delta y = \frac{1}{n}$ , dvs $y_0 = 0, y_1 = \frac{1}{n}, y_2 = \frac{2}{n}, \ldots, y_n = 1$ och betraktar skivan som fås då intervallet $[y_{i-1}, y_i]$ roteras kring $y$ -axeln. Vi använder den undre gränsen för att approximera både volymen och densiteten i intervallet, men håller reda på storleken på felen.

Skivans volym är $\Delta V_{i} = \pi y_{i}^{2}\Delta y + \mathcal{O}(\Delta y^{2})$ . Även densiteten varierar inom intervallet så skivans massa är

\Delta m _ {i} = (2 - y _ {i} + \mathcal {O} (\Delta y)) \Delta V _ {i} = \pi y _ {i} ^ {2} (2 - y _ {i}) \Delta y + \mathcal {O} (\Delta y ^ {2}).

Den totala massan blir

\begin{array}{l} m = \sum_ {i = 1} ^ {n} \Delta m _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(\pi y _ {i} ^ {2} (2 - y _ {i}) \Delta y + \mathcal {O} (\Delta y ^ {2})\right) \\ = \sum_ {i = 1} ^ {n} \pi y _ {i} ^ {2} (2 - y _ {i}) \Delta y + \sum_ {i = 1} ^ {n} \mathcal {O} (\Delta y ^ {2}). \\ \end{array}

Den första summan är en Riemannsumma som konvergerar mot integralen. Den andra summan är av storlek $n\mathcal{O}(\Delta y^2) = n\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) = \mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)$ , vilket går mot noll när $n \to \infty$ .

Svar: $\frac{5\pi}{12}$